Меню

Какие бывают спиноры: Международная Научная школа устойчивого развития

Содержание

Международная Научная школа устойчивого развития

Главная

Устойчивое развитие подразумевает удовлетворение потребностей современного поколения, не угрожая возможности будущих поколений удовлетворять собственные потребности (ООН, 1987 г.).

Практические решения по реализации стратегии устойчивого развития базируются на фундаментальных и прикладных научных исследованиях. Именно наука не только добывает новые знания о мире и его общих законах, но и способна сформулировать так необходимую Человечеству новую стратегию развития и методы ее реализации на основе фундаментальных законов в системе «природа – общество – человек».

И в самом деле: чтобы перейти к устойчивому развитию в системе «природа – общество – человек», нужно досконально изучить, понять и описать все связи между различными областями человеческой деятельности, социальными институтами и природными структурами.

Увидеть и обсудить проблему устойчивого развития во взаимосвязи с другими явлениями и процессами позволяют исследования системного характера. Локальная эффективность отдельных моделей устойчивого развития совершенно недостаточна для утверждения объективного статуса понятия «устойчивое развитие».

Как может быть достигнут этот статус? Адекватный ответ на этот вопрос дает Научная школа устойчивого развития: путем выработки общеобязательного научного метода решения проблемы устойчивого развития на основе общих законов в системе «природа – общество – человек», прежде всего – законов сохранения развития Жизни как космопланетарного явления, за счет чего связываются воедино природные farmacia maschile, общественные и духовные процессы.

Идеология такой модели устойчивого развития принципиально отличается от  других подходов в этой области и требует изменения значительной части наших представлений о мире, ориентируя каждого человека и общество в целом на сохранение развития Жизни в локальном и глобальном масштабах. Для решения именно этой задачи создан Интернет-портал Научной школы устойчивого развития.

Главной целью Научной школы устойчивого развития является такое развитие Человека, которое дает ему возможность выдвигать и воплощать в жизнь Идеи, реализация которых сохраняет рост и развитие жизнеспособности в системе «природа – общество – человек» в долгосрочной перспективе в условиях негативных внешних и внутренних воздействий.

Подробнее о проблеме устойчивого развития:

Вращение спинора

У меня есть вопрос об интуитивном подходе к спинорам как к определенным математическим объектам, которые обладают определенными свойствами, которые делают их похожими на векторы, но, с другой стороны, есть свойство, которое отличает спиноры от векторов:

Wiki дает довольно геометрическое описание спинора:

«В отличие от векторов и тензоров, спинор превращается в свое отрицательное, когда пространство непрерывно вращается на полный оборот от $0°$ к $360°$ (см. рисунок) «.

Другие источники также утверждают, что если повернуть спинор на $720°$градусов вы получите тот же спинор. Ясно, что если повернуть обычный вектор на$360°$получаем тот же вектор. Итак, спиноры не являются векторами в обычном понимании.

ВОПРОС : Я не понимаю, что именно такое «вращение спинора».2$ и хотите выполнить «вращение» вокруг определенной оси на определенную фиксированную степень $\phi$. Какой объект в$SU(2)$ представляет собой это так называемое «вращение», и почему такая операция на спинорах называется «вращением»?

Почему топовые физики обожают теорию струн / Хабр

Теория струн (суперструн,

М-теория

,

F-теория

) является на данный момент наиболее перспективным и по сути единственным кандидатом на теорию всего. Петлевая квантовая гравитация, спиновые сети и прочие «альтернативные теории» всерьез сейчас научным сообществом не рассматриваются.



Научпоп о теории струн

Существуют неплохие научно-популярные книги по теме. «Элегантная Вселенная» Брайана Грина вспоминается.

Но на одну хорошую книжку приходится по нескольку, мягко говоря, не вполне объективных. Книги Ли Смолина или Питера Войта подходят под такое определение.

В последнее время в связи с «проблемами» гендерного неравенства и разного рода меньшинств все большее внимание получают альтернативно мыслящие представители данных категорий. Достаточно вспомнить недавно вышедшую книгу Сабины Хоссенфельдер, критикующую теорию струн за (вы не поверите) сложность используемой в ней математики.

Действительно, чтобы перейти к изучению теории струн надо сначала освоить квантовую теорию поля. Для понимания идей квантовой теории поля надо изучить релятивистскую квантовую механику (уравнение Дирака, спиноры и т. д.). Но прежде всего необходимо разобраться с математикой обычной квантовой механики (Гильбертово пространство, эрмитовы операторы, унитарные операторы и пр.) и ее постулатами.

Уже на этом первом шаге многие отсеиваются. Даже математика базовых постулатов квантовой механики большинству непосильна. С каждым последующим шагом математика усложняется на порядок. Количество людей, способных ее освоить, уменьшается на порядок. В итоге специалистов по теории струн сейчас в мире насчитывается максимум несколько сотен. Причем большинство авторов научно-популярных книг (Ли Смолин, Питер Войт, Сабина Хоссенфельдер и прочие) в их число не входят.

То, что новая физическая теория требует более сложную математику является закономерностью. Теории становятся все более абстрактными. Так было со специальной и общей теориями относительности, с квантовой механикой, квантовой теорией поля. Не исключение и теория струн.

Назад пути нет. Никто в будущем не отменит дифференциального и интегрального исчислений или тензорный анализ. Заменить чем-то еще более сложным – пожалуйста, отменить или заменить более простым — нет.

Аргументы противников теории струн

Рассмотрим еще несколько популярных аргументов против теории струн, помимо логики «Если я не понимаю, то это неверно».


Теория струн не дает никаких предсказаний. Ее можно подогнать под любые результаты. Она не фальсифицируема и не является научной теорией по определению Поппера.

Это не так. Существуют ингредиенты без которых теория струн не может обойтись, например,

суперсимметрия

. Если будет экспериментально обнаружено, что суперсимметрия отсутствует в нашей Вселенной, то теория струн будет опровергнута.

Теория струн уже дала несколько полезных предсказаний. Так в рамках нее из первых принципов была получена формула энтропии черной дыры. Также теория струн разрешила парадокс потери информации в черных дырах, сформулированный самим Стивеном Хокингом. В рамках теории струн показано, что она не теряется.

Стандартной аргументацией тезиса, что теорию струн можно подогнать под любые экспериментальные данные является наличие в ней порядка решений, каждое из которых дает свою физику. Так называемый landscape.

Действительно, теория струн является метатеорией. По аналогии с тем как решения уравнений электродинамики Максвелла дают разные явления в зависимости от начальных условий (световую волну, статическое кулоновское электрическое поле и пр.), различные решения теории струн дают различную физику – эффективные квантовые теории поля. Почему мы имеем именно такие поля, а не другие, действительно остается открытым вопросом.

Но теория струн точно не говорит, что ею можно описать все что угодно. Наоборот, в ней имеется множество ограничивающих критериев. Например, она запрещает вселенные, в которых электромагнитное (и любое другое) взаимодействие слабее гравитационного. См. также swampland.

Ну и это не такое уж и большое число. Если считать, что наша Вселенная – одна из этого множества, то ее «координаты» в этой большой математической структуре будут занимать всего лишь 500 десятичных знаков. Менее килобайта данных полностью идентифицирует нашу Вселенную среди гипотетических других. Согласитесь, не много.

Теория струн требует дополнительных измерений.

Вот вам еще один пример того, что теория струн дает предсказания. Если будет обнаружено, что имеется только одно временное измерение и три пространственных, то теория струн будет опровергнута!

Теория струн – единственная физическая теория, которая диктует число измерений. Ньютоновская механика может работать в любом количестве пространственных измерений, теория струн – нет. Она объясняет почему измерений должно быть 10, 11 или 26. Соглашусь, что вопрос почему только 4 из них имеют макроразмеры пока остается открытым.

Не существует точного определения теории струн, поэтому это даже не теория.

Да, из-за сложности используемой математики строгого определения пока нет. Однако показано, что различные версии теории струн описывают одну и ту же математическую структуру с разных сторон (M-теория). Различные версии теории струн связаны

дуальностями

.

Ну и мой любимый аргумент:

Из чего состоит струна?

Вопрос человека, далекого от квантовой механики и мыслящего струну как гитарную струну, также как электрон – маленьким шариком или Ньютоновской материальной точкой, в лучшем случае классической волной материи или распределением электрического заряда.

Такие обычно проявляют наибольшую активность в обсуждениях, с пеной у рта в комментах доказывая верность многомировой интерпретации квантовой механики и ошибочность теории струн.

Спин, Спинор и Спиноза. В чём отличия? | Другое Измерение

Многие понятия современной науки бывают очень сложны для понимания. А зачастую, и сами учёные, порой не вполне адекватно интерпретируя тот или иной физический термин, приводят читателей в лёгкое замешательство и недоумение. Помню, я долго не мог «ущучить» смысл такого важного понятия современной квантовой физики как спин. Причём, Википедийное его определение как «собственный момент импульса элементарной частицы» мало что прояснял. Например, когда мне говорили, что спин фермиона половинчатый (=1/2), я не мог понять, половина от чего? Толи от яблока, то ли от лошади, то ли от ещё чего-нибудь. Получается, что «само по себе», число ½ вообще ни к чему не привязано. Ну, тогда это чистая абстракция, которая к физическому явлению быть применима не может.

Оказывается, может, просто современные «ботаники» «мутят мозг» на «ровном месте». Вся «фишка» в том, что современная наука вообще не различает такие важные философские категории как МАТЕРИЯ и ВЕЩЕСТВО. Для них это – синонимы. На самом деле, МАТЕРИЯ – четырёхмерна, и характеризует собой атомный (квантовый) мир, к которому принадлежат все элементарные частицы. Вещественный же мир – трёхмерен, а потому протяжён и дуален. Мир ВЕЩЕСТВА начинается с молекулярного уровня. Разница между этими двумя мирами кардинальна. Материальный четырёхмерный мир фермионов (частицы с полуцелым спином) описывается комплексными числами, подчиняется проективной геометрии, структуры которой имеют вид односторонних неориентируемых замкнутых поверхностей. Трёхмерный же наш вещественный мир бозонов (частицы с единичным спином) описывается уже вещественными числами, подчиняется евклидовой геометрии, структуры которой имеют вид двусторонних (есть верх и низ, право и лево, вперёд и назад) ориентируемых не замкнутых поверхностей. Взаимодействие этих двух миров осуществляется так называемой спиновой (бозонной) компенсацией, когда два фермиона, складывая два своих спина (1/2+1/2=1) образуют целочисленный бозон. В такой компенсации Четырёхмерный мир переходит в мир Трёхмерный. Поэтому понятие спина очень важно! Без него не смог бы появиться видный голландский философ эпохи барокко – Бенедикт Спиноза (как, впрочем, и любой из нас).

Так же важно различать наш трёхмерный ВЕКТОР (строится на действительных числах) от четырёхмерного вектора, который называется СПИНОР (строится на комплексных числах).

После такого вступления, давайте я поясню, что есть Спин в его сути. Каждый из нас знает, что если нашу евклидову двустороннюю поверхность (в виде, например, бумажной ленты) скрутить на пол-оборота и склеить по типу листа Мёбиуса, то таким образом мы получим уже одностороннюю поверхность (её не удастся закрасить двумя цветами). Математики изучают такие поверхности по ортонормированному базису – единичному вектору, перпендикулярному этой проективной плоскости. Если я представлю себя таким вектором и начну двигаться по некоторой прямой в этой проективной плоскости, то преодолев 360 градусов, я не вернусь в исходное положение, а окажусь «ступня к ступне» в перевёрнутом виде. Чтобы мне вернуться в точку «старта», в проективном пространстве необходимо преодолеть ещё 360 градусов пути (итого 720 градусов). Т.е. я, как вектор, должен буду совершить два трёхмерных оборота, а для СПИНОРА это будет один оборот (математики называют это double cover — двойное покрытие). Я писал отдельную публикацию по этой теме (посмотрите, очень интересно). Здесь ещё важно понять, что структура комплексного числа состоит из действительной и мнимой компонент. Получается, что фермион, всё время проявляется то наполовину в нашем действительном мире (в виде, например, электрона), то наполовину в мнимом мире Зазеркалья (в виде своего антипода — позитрона). Вот это самое «наполовину» — и есть полуцелый спин. Физики изображают его стрелочкой, имеющей определённую ориентацию.

Спин, с одной стороны, разделяет два мира,- действительный и мнимый, а с другой, содержит их в гармонии ЕДИНСТВА.

Спин, с одной стороны, разделяет два мира,- действительный и мнимый, а с другой, содержит их в гармонии ЕДИНСТВА.

В квантовой механике есть ещё одно квантовое число – ИЗОСПИН. А это что за «зверь»? У кватерниона (а наше Пространство имеет его структуру) есть и пятое измерение, в котором четырёхмерный спин имеет также разделённые свои две противоположные проекции, которые и называют Изотопи́ческим спином (изоспи́ном). А существует ли в таком случае изо-изоспин? Нет, алгебра кватерниона такова, что третьи производные не допускает. По классической аналогии, первая производная пути по времени – есть скорость, вторая – ускорение, а вот третьей уже нет.

И ещё интересный вопрос! Если ВЕКТОР и СПИНОР взаимно связаны, то что из них ПЕРВИЧНЕЕ? Или, если задать вопрос иначе, чьё движение ведущее, а чьё ведомое? Этот вопрос корректен лишь в рамках трёхмерного дуального мира, где «причина» и «следствие» разнесены друг относительно друга. В самом деле, наш трёхмерный вещественный двигатель создавая первичное движение (причина), затем через вал передаёт его на колёса автомобиля(следствие). В четырёхмерном мире МАТЕРИИ такого разделения нет! Причины и следствия там нераздельны. Поэтому вопрос о первичности для четырёхмерного мира будет некорректным. Также некорректно применять для ТОГО мира наши трёхмерные протяжённые аналогии, типа «Объект», «Шарик», или «Пустота».

Прав был Спиноза, когда он, как картезианец, разделял «протяжённое» и «мыслимое», но, в то же время подчёркивал их ЕДИНСТВО.

PS, А знаете, почему гайка Джанибекова периодически меняет направление своего вращения? Думаю, теперь знаете!

Всего Вам доброго.

Математика — Спинор — Мартин Бейкер

Спиноры могут представлять вращения в «n» измерениях. У него есть несколько интересных свойств:

  • Может представлять обычные повороты (которые возвращаются в исходное положение после поворота на 360°) с помощью «сэндвич»-продукта: p 2 = R p 1 R -1 .
  • Он может представлять вращение частиц (которые возвращаются в исходное положение после поворота на 720°) с помощью какого-либо другого продукта.
  • Он может быть представлен четными подалгебрами алгебр Клиффорда.
  • Может быть представлено матрицами Паули
  • Это группа лжи.

История

Когда мы читаем о столь различных предметах, как квантовая механика, математика вращения, теория групп и т. д., мы часто сталкиваемся с термином «спинор». Спиноры, похоже, были открыты независимо друг от друга физиками (Дирак) и математиками (Родригес, а также Картан), поэтому кажется особенно трудным дать определение.

Работая над квантовой теорией, Дирак обнаружил, что ему нужно извлечь квадратный корень из вектора, и он обнаружил, что это дает спиноры.Это должно быть сделано в алгебре, где произведения (и, следовательно, квадраты) векторов имеют смысл (см. Алгебра Клиффорда)

Обычные вращения

Мы можем представить вращения в любом количестве измерений, используя произведение «сэндвич»: p 2 = R p 1 R -1

где:

  • p 1 = точка вектора перед вращением
  • p 2 = точка вектора после поворота
  • R = спинор, представляющий вращение
  • R -1 = обратный спинору, представляющий вращение

примечание: каждое вращение может быть представлено двумя спинорами (R и -R), которые в данном случае представляют одно и то же вращение.

Вращение частиц

Из-за искривления времени и пространства при высоких скоростях вращения (см. эту страницу) частица не возвращается в исходное состояние, пока не совершит поворот на 720°.

Спинор превращается в минус, когда он делает вращение на 360 °.

Короткая точная последовательность

Спиновая группа появляется в следующей короткой точной последовательности:

1 -> Z 2 -> Spin(n) -> SO(n) -> 1

Определения:

  • «Короткая точная последовательность» — это последовательность алгебраических структур и морфизмов между ними, такая, что образ одного морфизма равен ядру следующего.Дальнейшее объяснение на этой странице.
  • Z 2 — целые числа по модулю 2 = {0,1}
  • Spin(n) — группа спинов в n измерениях
  • SO(n) равно
  • -> является морфизмом между группами

Обратите внимание, что существует отображение 1:2 между 1 и Z 2 , а также отображение 2:1 между Spin(n) и SO(n).

Чтобы попытаться понять это, я попытался вычислить изображение и ядро ​​​​для трехмерных вращений, представленных единичным кватернионом «q», работая над этим ниже. Я думаю, что сделал его подходящим для определения:

кер (1 -> {0,1}) = 1
им (1 -> {0,1}) = {0,1}
кер ({0,1} -> q ) = {0,1}
им ({0,1} -> q) = {q,-q}
кер (д -> {д,-д}) = {д,-д}
im (q -> {q, -q}) = {1 + 0 i + 0 j + 0k, -1 — 0 i — 0 j — 0k}
ker ({q, -q} -> 1) = {1 + 0 i + 0 j + 0k, -1 — 0 i — 0 j — 0k}
им ({q,-q} -> 1) = 1

Четные подалгебры алгебр Клиффорда

Спиноры могут быть математически представлены алгебрами Эвена Клиффорда, я пытался это доказать (здесь).

Спиноры и теория групп

В теории групп существует группа под названием Spin(n), в которой есть элементы, известные как спиноров, являющееся двойным накрытием специальной ортогональной группы SO(n).

Группа лжи имеет набор параметров, которые непрерывно отображаются в топологическую пространство (многообразие). Термин «двойное покрытие» означает, что это представляет собой отображение 2:1, т. е. есть 2 разных значения параметра, которые сопоставляются с одним и тем же топологическая позиция.

Есть некоторые ограничения на это, используя такие слова, как «нетривиальная метрическая подпись», которые я не понимаю, я думаю, они там, чтобы устранить некоторые особый случай?

Есть некоторые «случайные изоморфы» при малых размерностях.То есть некоторые группы, хотя и не строго определенные как спиновые группы, по совпадению обладают одинаковыми свойствами при низких размеры:

  • Спин(1) = O(1)
  • Спин(2) = U(1)
  • Спин(3) = Sp(1) = SU(2)
  • Спин(4) = Сп(1) х Сп(1)
  • Спин(5) = Сп(2)
  • Спин(6) = ВП(4)

«Есть определенные остатки этих изоморфизмы, оставшиеся для n = 7,8. Для более высоких n эти изоморфизмы полностью исчезают.»

Предполагая, что SO(n) является единственным покрытием тех же параметров, тогда разумно, что для одного оборота SO (n) Spin (n) будет повернуть дважды за каждый оборот SO (n)?

Таким образом, хотя это отображение вращений 2:1 не является определения спиноров, это, по-видимому, фундаментальное свойство, которое очень тесно связаны с определением?

Другие определения:

Теория групп: «Линейное пространство, на которое действует в одностороннем порядке роторами образует несущее пространство для спина представление группы вращения.Элементы такого пространства обычно называют спиноры»

Геометрическая алгебра: «четные мультивекторы»

«Связь между векторами и спинорами сохраняется в 3, 4, 6 и 10 измерениях (на одно больше, чем измерения R , C , Q и O , что дает следующие изоморфизмы:

SL(2, R ) ≡SO(2,1)
SL(2, C ) ≡SO(2,3)
SL(2, Q ) ≡SO(2,5)
SL(2, O ) ≡SO(2,9)»

где:

  • SL(n, F) = Специальная линейная группа, состоящая из матриц размера n×n, где каждый элемент имеет тип F с определителем =1.
  • SO(n,R) = подгруппа E+(n), ​​состоящая из прямых изометрий, т. е. изометрий, сохраняющих ориентацию; он содержит те, которые оставляют начало координат фиксированным. Это группа вращения сферы и всех объектов со сферической симметрией, если начало координат выбрано в центре. Каждая ортогональная матрица имеет определитель либо 1, либо −1. Ортогональные матрицы размера n на n с определителем 1 образуют нормальную подгруппу O (n, F), известную как специальная ортогональная группа SO (n, F).

Если SO(p,q) определяется двумя числами, то я думаю, что это ортогональная группа для любой симметричной квадратичной формы Q с матричной сигнатурой (p,q).Группа матриц A, сохраняющих Q, обозначается O(p,q). Группа Лоренца равна O(3,1).

Спиноры

Я прихожу к выводу, что главное О спинорах то, как они встречаются в разных измерениях. я постараюсь объясните причину этого:

Мне кажется, что есть 2 способа, которыми «алгебры» изменение с разным количеством размеров:

  1. связанных алгебр, таких как комплексные числа, кватернионы и октонионы (2,4 и 8 измерений).
  2. «групп», которые представляют одно и то же в различные измерения, такие как спиноры.

Второй тип — это такие вещи, как ротационная группа который представляет вращение в любом количестве измерений. Спиноры представляет собой двойное покрытие вращения в любом количестве измерений. Эти «группы» (я не уверен, что использую правильную терминологию) не имеют собственной алгебры, поэтому, если мы хотим использовать спиноры в данной число измерений, которое мы должны сопоставить с алгеброй из первый тип.

какой тип su(1),su(2),su(3)… ?

Например, если мы хотим использовать спиноры в 3D, мы могли бы используйте либо:

  • кватернионов.
  • подмножество матриц 2×2, содержащих комплексные числа (матрицы Паули).

Оба полностью представляют (эквивалентны) спиноры в 3D.

Если я прав насчет всего этого, то причина вся работа над этим имеет тенденцию быть абстрактными понятиями, а не интуитивных идей, заключается в том, что наша человеческая интуиция не работает в 4 или больше измерений (есть некоторые проблемы с вращением в 3 измерениях).

Так что насчет двух измерений? Означает ли понятие спиноры встречаются в двух измерениях? Конечно, это не может произойти в 1 измерении потому что нет вращений в 1 измерении.

Внешне это выглядит как расширение кватернионов способ, которым комплексные числа представляют повороты, но я не думаю, Вращение кватерниона — это расширение представления комплексных чисел. вращения, они совершенно разные. Я думаю, это просто совпадение, что они оба представляют вращения.(если это правильно использовать слово «совпадение» в математике). Например:

  • Два измерения в комплексных числах (вещественное и воображаемый) может представлять координаты вращаемых объектов. Четыре измерения кватернионов не имеют прямого отношения к 3 измерения вращающихся объектов.
  • В комплексных числах чередование выполняется с помощью комплексного экспонента, в кватернионах это делается с помощью «бутерброда» умножение.
  • В комплексных числах i означает 90 градусов. вращение, в кватернионах «i» представляет вращение на 180 градусов.

Спинорная алгебра

В этом разделе делается попытка определить спиноры в терминах геометрической алгебры.

Если мы работаем исключительно в 3D, то я думаю, что следующие изоморфны:

  • спинорная алгебра
  • кватернионов
  • скаляр+бивектор, сгенерированный 3D-векторами, возведенными в квадрат до +ve.
  • четных оценок, сгенерированных 3D-векторами, возведенными в квадрат до +ve.

Книга Лунесто (см. книжный магазин внизу этой страницы) рассказывает о Spin(n)
и я думаю, здесь и в других местах ясно, что идея спиноров — это что-то
. это видно независимо от количества измерений, в которых мы работаем — и это
важно для концепции, иначе мы могли бы также назвать их кватернионами
вместо спиноров.

Применимы ли какие-либо из приведенных выше эквивалентностей, если мы работаем с числом измерений выше 3 или если некоторые из измерений скорее времениподобны, чем пространственноподобны? Если мы обнаружим, что определение спиноров примерно такое: «двойное покрытие чего-то, связанного с конечным вращением», тогда может оказаться, что фактические вовлеченные степени будут различаться в зависимости от количества измерений и того, чему они соответствуют?

Одним из возможных определений может быть скаляр + бивектор.

  • В 2 измерениях, если базисные векторы e1 и e2, то бивектор будет иметь 1 измерение e1e2 (есть 1 комбинация 2 из 2).
  • В 3-х измерениях, если базисные векторы e1, e2 и e3, то бивектор будет иметь 3 измерения e1e2, e2e3 и e3e1 (есть 3 комбинации 2 из 3).
  • В 4-х измерениях, если базисные векторы равны e1, e2, e3 и e4, то бивектор будет иметь 6 измерений e1e2, e2e3, e3e1, e1e4, e2e4 и e3e4 (существует 6 комбинаций 2 из 4).

Итак, если мы определим спинор как скаляр + бивектор, то

  • В 2-х измерениях спинор будет иметь 1+1=2 измерения, которые будут иметь алгебру, изоморфную комплексным числам.
  • В 3-х измерениях спинор будет иметь 1+3=4 измерения, которые будут иметь алгебру, изоморфную кватернионам.
  • В 4-х измерениях спинор будет иметь 1+6=7 измерений, которые будут иметь незамкнутую алгебру (очень запутанную).

Если вместо этого мы определим спинор как четную подалгебру геометрической алгебры G+(n,0).Тогда двух- и трехмерные случаи будут такими же, как и выше, но для четырехмерного случая будет дополнительный псевдоскалярный член, который дает 1 + 6 + 1 = 8 измерений, что дает замкнутую, но не ассоциативную алгебру.

Я не знаю, изоморфна ли эта алгебра октонионам? Это было бы слишком хорошо, чтобы быть правдой. Я подозреваю, что если бы спиноры и октонионы были изоморфны в 4D, мы бы слышали об этом раньше.

Представьте, что у нас есть функция, которая изменяется в зависимости от угла, скажем, тета, и тета может вращаться на 360 градусов, как показано здесь:

Теперь представьте, что мы вводим второй угол, скажем, гамма, как показано ниже.Эти углы связаны соотношением тета = 2 * гамма.

Образует «ленту Мебиуса». Свойство ленты Мёбиуса состоит в том, что если начать ходьба в любой точке:

Пройдя полные 360 градусов, вы теперь на другой стороне (перевернутый).

Кватернионы примеры изоморфны спинорам в 3-х измерениях. Например, кватернион «i» представляет поворот на 180 градусов вокруг оси х. Таким образом, i * i = -1 представляет собой вращение на 360 градусов вокруг оси x.

Здесь используется матрица, элементами которой являются комплексные числа, сгенерированные матрицами Паули.

Спиноры обеспечивают средства для представления вращений в «n» измерениях и были первыми определяется физиками, работающими над квантовой механикой.

Например, спиноры в четырехмерном пространстве встречаются в уравнениях Дирака для волновые функции электрона.

Что называют спинорами? – СидмартинБио

Что называют спинорами?

В геометрии и физике спиноры /spɪnər/ являются элементами комплексного векторного пространства, которое можно связать с евклидовым пространством.В 1920-х годах физики обнаружили, что спиноры необходимы для описания собственного углового момента или «спина» электрона и других субатомных частиц.

Что такое спинорная нотация?

В теоретической физике нотация Ван дер Вардена относится к использованию двухкомпонентных спиноров (спиноров Вейля) в четырех пространственно-временных измерениях. Это стандарт в твисторной теории и суперсимметрии. Он назван в честь Бартеля Лендерта ван дер Вардена.

Что такое математические спиннеры?

Спиннеры относятся к той же категории, что и игральные кости.По сути, спиннеры добавляют случайности к генерации чисел, цветов или форм. Спиннеры могут быть заменены игральными костями и наоборот для генерации чисел. Спиннеры можно использовать как часть игрового сценария почти так же, как игральные кости помогают генерировать ходы.

Являются ли спиноры векторами?

Спинор — это вектор в основе не пространства-времени, а его спиновых состояний; по смыслу спинор не является вектором, поскольку он не будет трансформироваться при преобразовании пространства (вращении и т. д.).

Фермионы спиноры?

Спиноры — это математические объекты, используемые в физике в основном для определения фермионов.Фермионы — это возбуждения частиц/полей, которые имеют полуцелые спины, в отличие от бозонов, которые имеют целочисленные спины.

В чем разница между спинором и вектором?

Спиноры трансформируются односторонним образом. Геометрически векторы — это привычные вам ориентированные линии с весом, равным модулю вектора. Спиноры представляют собой линейные комбинации скаляров и бивекторов, ориентированных плоскостей.

Почему люди ненавидят спиноров?

За все это время профессор ни разу не упомянул слово «спинор».Когда я обнаружил, что ошибался во всем, я быстро научился ненавидеть спиноры.

Что такое спиннер в физике?

Спиннеры

Fidget — это, по сути, карманные гироскопы. Гироскопы представляют собой вращающиеся устройства, установленные на оси, используемые для обеспечения устойчивости тела за счет сопротивления движению из-за вращательного момента.

Является ли спинор тензором?

Тогда на языке, используемом в данном контексте, «тензор» — это элемент некоторого пространства тензорного произведения, образованного из M и двойственного ему пространства, а «спинор» — это элемент некоторого пространства тензорного произведения, образованного из S и его комплекса сопряженное пространство ˉS и сопряженные к ним пространства.

Являются ли кварки спинорами?

В квантовой теории поля спинор Дирака — это спинор, описывающий все известные фундаментальные частицы, являющиеся фермионами, за исключением, возможно, нейтрино. Прежде всего, они важны, поскольку описывают все известные фермионы фундаментальных частиц в природе; это включает электрон и кварки.

Почему мы используем спиноры?

Спиноры важны для описания любой частицы со спином, равным j = 1/2, наименьшей допустимой положительной величине собственного углового момента.

Какова история спиноров в физике?

Спинор. Спиноры были введены в геометрию Эли Картаном в 1913 году. В 1920-х годах физики обнаружили, что спиноры необходимы для описания внутреннего углового момента или «спина» электрона и других субатомных частиц.

Каковы применения спиноров в математике?

Спиноры в теории представлений. Одно из основных математических применений построения спиноров состоит в том, чтобы сделать возможным явное построение линейных представлений алгебр Ли специальных ортогональных групп и, следовательно, спинорных представлений самих групп.

В чем разница между спиновой группой и алгеброй Клиффорда?

И спиновая группа, и ее алгебра Ли естественным образом встраиваются в алгебру Клиффорда, и в приложениях с алгеброй Клиффорда часто проще всего работать. Пространство Клиффорда оперирует спинорным пространством, а элементы спинорного пространства являются спинорами.

Каково линейное представление спиновой группы?

Пространство спиноров по определению снабжено (комплексным) линейным представлением спинорной группы, что означает, что элементы спинорной группы действуют как линейные преобразования в пространстве спиноров таким образом, который действительно зависит от гомотопического класса.

Симметрия | Бесплатный полнотекстовый | Геометрический смысл спиноров освещает путь к пониманию квантовой механики

2.3. Построение SU(2): геометрический смысл спиноров
Идея значения спинора 2×1 SU(2) заключается в том, что мы больше не будем вращать векторы, а будем «вращать» вращения. Чтобы объяснить, что мы подразумеваем под этим, мы начнем со следующей диаграммы для группы G:

∘g1g2g3 ⋯ gj ⋯ g1g1∘g1g1∘g2g1∘g3 ⋯ g1∘gj ⋯ g2g2∘g1g2∘g2g2∘g3 ⋯ g2∘gj ⋯ ⋮⋮⋮⋮⋮ gkgk∘g1gk∘g2gk∘g3 ⋯ gk∘gj ⋯ ⋮⋮⋮⋮ ⋮⟸Тгк

(2)

Эта диаграмма пытается проиллюстрировать таблицу группового умножения.Правда, мы не сможем написать такую ​​таблицу для бесконечной группы, а воспользуемся ею только для того, чтобы представить более живо представление. Такая таблица сообщает нам о группе все, что нам нужно знать: по такой таблице можно проверить, выполняются ли групповые аксиомы, и можно произвести все необходимые вычисления. Для группы вращения нам не нужно знать, как вращения работают с векторами. Нам может понадобиться знать, как они работают с векторами, чтобы построить таблицу, но как только эта задача будет выполнена, мы можем забыть о векторах.Бесконечная таблица в уравнении (2) определяет всю структуру группы. Когда мы смотрим на одну строку таблицы — ту, что отмечена стрелкой, — мы видим, что мы можем представить элемент группы gk маханием рукой как «функцию» gk:G→G, которая работает с другими элементами группы. gj согласно: gk:gj→gk(gj)=gk∘gj. Таким образом, мы можем отождествить gk с функцией. Более строго можно сказать, что мы представляем групповой элемент gk групповым автоморфизмом Tgk∈ F(G,G):gj→Tgk(gj)=gk∘gj. Вращение в этом представлении действует не на вектор, а на другие вращения.Мы «вращаем вращения» вместо векторов. Это конструкция, которая всегда работает: автоморфизмы группы G сами по себе являются группой, изоморфной G, так что их можно использовать для представления G. Легко видеть, что эта идея относительно значения спинора верна. . Как мы покажем ниже в уравнении (8), общая форма матрицы вращения R в SU(2) такова: спинор ϕ 2×1 можно рассматривать как просто стенографическое обозначение для 2×2 SU(2). ) матрица вращения R, взяв ее первый столбец c^1(R):

R=ξ0−ξ1*ξ1ξ0*→ϕ=c^1(R)=ξ0ξ1,

(4)

Это основано на том факте, что первый столбец R уже содержит всю информацию о R и что R1c^1(R)=c^1(R1R).2(R) соответствует обращению. Но в этой статье мы вряд ли будем обращать внимание на сопряженные спиноры. Почти все время мы будем сосредотачивать свое внимание на первом столбце как на представлении поворота). Таким образом, мы открыли четко определенный геометрический смысл спинора. Как уже говорилось, это просто групповой элемент. Это все, что касается спиноров в SU(2). Элементы кодовой группы спиноров. В SU (2) матрицы вращения 2 × 2 работают со спинорными матрицами 2 × 1. Эти спинорные матрицы представляют собой вращения, которые «вращаются».Объяснение того, что спинор в SU(2) является вращением, по нашему мнению, дает гораздо больше информации, чем описание его как квадратного корня из изотропного вектора в соответствии с доктриной учебника. Именно это озарение выводит из тупика нашего непонимания. Мы объясним хрестоматийную взаимосвязь между спинорами и квадратными корнями изотропных векторов в разделе 2.7. Заявление о том, что спинор в SU(2) является вращением, на самом деле является языковым злоупотреблением. Спинор, как и матрица вращения 3 × 3 SO (3), является однозначным представлением вращения в теории групп.Но благодаря изоморфизму мы можем объединить понятия и назвать матрицу или спинор вращением, в полной аналогии с тем, что мы предлагали в разделе 1.4. По дидактическим соображениям мы можем рассматривать спинор как концептуально эквивалентную системе «обобщенных координат» для вращения.

Нас не должно удивлять удаление векторов из формализма в пользу самих групповых элементов, как описано выше. Теория групп полностью посвящена такого рода абстракциям. Мы пытаемся получить общие результаты всего лишь из нескольких абстрактных аксиом для групповых элементов, не беспокоясь об их интуитивном значении в более конкретном контексте практической реализации.Кроме того, что касается представлений, нам не нужно возвращаться к конкретному контексту. Мы всегда имеем под рукой представление в виде групповых автоморфизмов. Это известный факт, но в своей общей абстрактной формулировке этот факт выглядит действительно очень абстрактно. Здесь мы можем видеть, что интуитивно означает это абстрактное представление в терминах автоморфизмов в контексте конкретного примера группы вращений. Идея больше не является абстрактной: мы можем отождествить матрицы 2×2 R группы SU(2) с групповыми автоморфизмами Tgk, а матрицы вращения 2×1 ϕj с элементами группы gj, такие, что gj→gk∘gj= Tgk(gj) алгебраически представляется как: ϕj→Rϕj.

Замечание   4. Отсюда уже должно быть очевидно, что спиноры в SU(2) не строят векторное пространство, как мы подчеркивали в разделе 2.2. Трехмерная группа вращений — это не векторное пространство, а искривленное многообразие (поскольку группа неабелева). Мы не можем пытаться найти смысл для линейной комбинации ∑jcjRj SU(2)-матриц Rj по аналогии с тем, что мы можем сделать с матрицами 3×3 в SO(3), где мы можем вернуться к тому факту, что 3× 1 матрицы пространства изображений соответствуют элементам векторного пространства R3 или C3.1(∑jcjRj), состоит в том, что мы не можем определить ∑jcjRj. Таким образом, пытаясь определить линейные комбинации SU(2)-матриц или спиноров, мы попадаем в порочный круг, из которого не можем выбраться. Кроме того, связь между спинорами и векторами R3 не является линейной, как это могло быть уже выяснено из заявления Атьи, процитированного выше, и как мы объясним ниже (см. раздел 2.7). Это сводит на нет все попытки найти смысл линейной комбинации спиноров в SU(2), исходя из смысла линейной комбинации с теми же коэффициентами в SO(3).Следовательно, попытки разобраться в линейных комбинациях спиноров — тупик. Замечание   5. Мы можем экстраполировать [17] идею о том, что теория представлений «вращает вращения, а не векторы» на SO(n), так что мы получим хорошее геометрическое представление о теории групп. Если бы мы могли также экстраполировать на SO(n) идею о том, что спиноры являются групповыми элементами, мы получили бы очень хорошую интуицию для спиноров, которая в целом верна. Тогда мы могли бы, например, также понять, почему спиноры составляют идеальное Я.Тогда идеальной была бы просто группа, а группа замкнута относительно состава вращений. Замечание   6. К сожалению, все не так просто и нам не удастся осуществить эту мечту. Идея о том, что спиноры — это просто вращения, дает нам очень хорошее представление о них в SU(2). Однако интерпретация в SU (2) матрицы с одним столбцом как сокращения всей информации, необходимой для однозначного определения элемента группы, в общем случае неверна.Первым примером случая, когда матрицы-столбцы нельзя отождествить с элементами группы, является представление SL(2,C) однородной группы Лоренца. Фактически для определения элемента однородной группы Лоренца требуется указать шесть независимых вещественных параметров. Эта информация не может быть представлена ​​в одном столбце 2×1 матрицы представления 2×2. Вторым примером является представление, которое дается алгеброй Клиффорда SO (n). Характеристика элемента группы вращений SO(n) в Rn требует задания n(n−1)/2 независимых вещественных параметров (см. обсуждение Вильбейна в разделе 2.7.1). Полная информация об этих n(n−1)/2 независимых действительных параметрах не всегда может быть втиснута в комплексные матрицы-столбцы 2ν×1, используемые в представлениях, потому что существует небольшой набор значений n, для которых n(n−1 )/2>2ν+1. Таким образом, в этих случаях информация об элементе группы, содержащемся в матрице-столбце, является принудительно частичной. Эти примеры показывают, что ожидаемое здесь отождествление между групповыми элементами и матрицами-столбцами, которые мы называем спинорами, в общем случае неверно.Таким образом, общий смысл спинора не может состоять в том, что он является групповым элементом. Тогда становится менее ясным, каким может быть общий смысл, так что приходится рассматривать изотропные векторы типа Картана, представляющие ориентированные плоскости, как обсуждалось в [17]. Однако из-за того, что мы вынуждены вводить суперпозицию двух состояний в Чтобы вывести уравнение Дирака (см. раздел 4.1), матрицы-столбцы 4×1, используемые в теории Дирака, снова будут содержать всю информацию об элементах группы.Таким образом, для приложений в КМ мы можем сохранить идею о том, что спинор является групповым элементом! Кроме того, то, что мы сказали в предыдущем замечании, не означает, что мы не понимаем алгебру представления. Фактически, матрицы представления 2ν × 2ν группы SO (n) действительно представляют элементы группы. Для приложения в QM это означает, что мы действительно полностью поймем формализм. Таким образом, при подходе к общему случаю SO(n) основной идеей будет рассмотрение формализма именно как формализма матриц вращения и матриц-столбцов как вспомогательных подколичеств, заключающих в себе лишь подмножество полной информации о группе элементы. Замечание   7. Мы должны отметить, что мы не знаем с уверенностью, до какой степени Атья хотел быть общим, когда говорил о «квадратичном корне из геометрии». Мы думаем, что то, что имел в виду Атья, было основано на уравнениях (29) и (57), а не на общем утверждении для SO(n). Из уравнений (29) и (57) видно, что терминология «квадратный корень», используемая Атьей, является лишь свободной метафорой, и в обобщении подхода к группам вращений в Rn при n>3 метафора будет становятся еще более рыхлыми [17].Для SO(n) идеи могут быть основаны на разработках в разделе 2.6, где мы указываем на квадратичную связь между векторами и спинорами, которая в целом верна.

Однако на данный момент мы хотим исследовать идею спинора с одним столбцом, который содержит полную информацию о вращении в SU(2), где жизнеспособна интуитивно привлекательная идея о том, что спинор столбца представляет групповой элемент. Остается объяснить, в какой форме внутри этой матрицы-столбца завернута информация о вращении.Это делается в несколько шагов.

2.4. Генерация группы из отражений 90 351 Первым шагом является решение, что мы будем генерировать всю группу вращений и инверсий из отражений, основываясь на идее, что вращение SO(3) является произведением двух отражений, как показано на рисунке 1. Следовательно, нам нужно привести отражение в виде матрицы 2×2. Координаты единичного вектора a=(ax,ay,az), который является нормалью к плоскости отражения, определяющей отражение A, должны присутствовать в качестве параметров в матрице отражения A, но мы не знаем, как это сделать.Следовательно, мы эвристически разлагаем матрицу A, которая кодирует отражение A, определяемое линейно как axτx+ayτy+azτz, где τx,τy,τz — неизвестные матрицы, как показано на следующей диаграмме:

unitvectora=(ax,ay,az)∈R3→reflectionAadefinesa2×2complexreflectionmatrixAdefinition↓definitionШевристика Дирака↓Шевристика Диракаsa=axex+ayey+azez ←разложенияаналогияA=axτx+ayτy+azτz⏟обозначается как a·τ

(5)

Если мы знаем матрицу τx, это подскажет нам, где и с какими коэффициентами появляется ax в A.То же самое относится с соответствующими изменениями для τy и τz. Матрицы τx,τy,τz, которые мы используем для кодирования таким образом матриц отражения в R3, могут быть найдены путем изоморфного выражения через AA=a2𝕝=𝕝 того, что определяет отражение, а именно. что оператор отражения A является идемпотентным. Мы обнаруживаем, что это можно сделать, если три матрицы одновременно удовлетворяют шести условиям τμτν+τντμ=2δμν𝕝, т. е. если в качестве τx,τy,τz взять, например, матрицы Паули σx,σy,σz. Здесь 𝕝 — единичная матрица 2 × 2.

Примечание   8. Физики из числа читателей увидят, что эта конструкция алгебраически полностью аналогична той, которая вводит гамма-матрицы в уравнение Дирака. Однако геометрически это совершенно другое. Подход Дирака направлен на извлечение «квадратичного корня из уравнения Клейна-Гордона». Таким образом, он ищет способ записи векторов, например, четырехвектора (E,cp) в виде линейного выражения, позволяющего интерпретировать его как квадратный корень из квадратичной формы, например, E2−c2p2, как, например, объясняется формулой Дехевелс [28].Следовательно, вывод Дирака происходит в контексте алгебры векторов и мультивекторов. Наш подход состоит в нахождении выражения для отражений. Таким образом, наш вывод происходит в рамках алгебры групповых элементов. Эти два подхода не определяют одни и те же геометрические объекты и не одни и те же алгебры. Замечание   9. Мы можем отметить, что в некоторой степени тот факт, что наша эвристическая работа является своего рода случайностью, потому что тот факт, что матрица отражения линейна по ax, ay, az в пределах SU(2), является специальный, а не общий.Это типично для спинорных представлений, которые мы представляем в этой статье. Контрпримером является выражение для матрицы отражения A в SO (3), которое квадратично по параметрам ax, ay и az:

A=𝕝−2axayaz⊗axayaz.

(6)

Запись A таким образом позволяет сразу алгебраически проверить, что она соответствует v→A(v)=v−2(a·v)a. Запись 𝕝 как (ax2+ay2+az2)𝕝 в уравнении (6) показывает, что выражение является чисто квадратным. Это связано с тем, что векторы в SO(3) являются тензорными произведениями ранга 2 спиноров SU(2), как мы обсудим в этой статье.Мы также можем отметить, что мы определили матрицы отражения без определения «векторного пространства», в котором они будут работать. Они определены en bloc, и именно этот аспект ставит нас перед проблемой смысла матриц-столбцов, называемых спинорами, которые встречаются в формализме. Мы привыкли квалифицировать такие матрицы-столбцы как векторы-столбцы, но, как мы указывали, спиноры не являются векторами. Таким образом, уже не естественно разбивать квадратные матрицы на столбцы.a·σ.служит здесь, чтобы предупредить, что обозначение [a·σ] является чисто условным сокращением для axσx+ayσy+azσz. Он не выражает истинного скалярного произведения, включающего a, а просто использует мимикрию с выражением для скалярного произведения, чтобы ввести сокращение.

Выражая вращение как произведение двух отражений, можно вывести известную формулу Родригеса:

R(n,φ)=BA=bzbx−ıbybx+ıby−bzazax−ıayax+ıay−az=cos(φ/2)𝕝−ısin(φ/2)[n·σ],

(8)

для поворота на угол φ вокруг оси, определяемой единичным вектором n.Чтобы получить этот результат, достаточно рассмотреть два отражения A (с матрицей [a·σ]) и B (с матрицей [b·σ]), плоскости которых содержат n и между которыми имеется угол φ/2. Использование алгебраического тождества [b·σ][a·σ]=(b·a)𝕝+ı(b∧a)·σ дает желаемый результат. Существует бесконечное множество таких пар плоскостей, и не имеет значения, какую именно пару выбрать из этого множества. Начиная с уравнения (8), легко проверить, что каждая матрица вращения имеет форму, заданную уравнением (3). ) и, следовательно, принадлежит SU(2).И наоборот, каждый элемент SU(2) является матрицей вращения. Теперь мы также можем понять, почему SU(2) является двойным покрытием SO(3). Рассмотрим матричное произведение:

BA=bzbx-ıbybx+ıby-bzazax-ıayax+ıay-az,

(9)

при выводе уравнения Родригеса в уравнении (8). Представьте, что мы сохраняем A фиксированным и увеличиваем угол ϑ=φ/2 между плоскостями отражения πA и πB от A и B от ϑ=0 и далее. Разумеется, φ — это угол поворота R=BA. Это означает, что плоскость отражения πB с вектором нормали b, определяющим B, вращается.В матричном произведении, которое возникает в уравнении (9), числа в матрице A останутся фиксированными, в то время как числа в матрице B будут постоянно меняться, подобно цифрам, которые показывают сотые доли секунды на наручных часах. Когда начальное значение угла ϑ=φ/2 между плоскостями отражения πB и πA равно нулю, плоскости отражения параллельны, πB‖πA, и начальное значение b равно b=a. Когда ϑ=φ/2 достигает значения π, вращающаяся плоскость отражения πB вернется в исходное положение параллельно неподвижной плоскости отражения πA, а результирующий поворот BA будет соответствовать повороту на угол φ=2ϑ=2π .Что касается групповых элементов, то мы, таким образом, совершили полный оборот как отражения B, так и поворота BA, когда πB совершит оборот ϑ=π в R3. Это потому, что нам нужно всего лишь повернуть плоскость в R3 на ϑ=π, чтобы вернуть ее в исходное положение. Следствием этого является то, что мы можем определить любую плоскость πU (или отражение U) всегда эквивалентно двумя нормальными единичными векторами u и −u. Эти полные обороты B и R=BA внутри группы должны быть параметризованы «групповым углом» φG=2π, если мы хотим выразить периодичность внутри группы вращений в терминах тригонометрических функций.Однако для вектора нормали b, который мы использовали для определения B и который принадлежит R3, все по-другому. При ϑ=φ/2=0 его начальное значение равно b=a. Для ϑ=φ/2=π его значение стало равным b=−a, так что мы получаем R=−𝕝 в уравнении (9). В этом нет ничего плохого, поскольку оба вектора нормали b=a и b=−a определяют одну и ту же плоскость πB‖πA. Таким образом, каждый элемент группы g представлен двумя матрицами G и −G. Поскольку элементы группы B и R=BA восстановили свои начальные значения, мы имеем φG=2π. В общем случае имеем φG=2ϑ=φ.Только после поворота на «групповой угол» φG=4π, что соответствует повороту πB на угол ϑ=φ/2=2π, мы получим значения BA=𝕝 и b=a. Замечание   10. Часто представляется загадкой квантовой механики тот факт, что нужно перевернуть волновую функцию через φG=φ=4π, прежде чем мы снова получим начальную конфигурацию (ϑ=φ/2=2π). Есть даже красивый нейтронный эксперимент, который был проведен, чтобы предоставить физикам физическое доказательство истинности этого факта [29]. При правильном понимании теории групп мы можем видеть, что это довольно тривиально и является скорее математической, чем физической истиной.Большинство учебников мистифицируют этот предмет, ссылаясь на топологические аргументы. Мы объясняем эту связь с топологией в [16, подраздел 3.11.2 и рис. 3.5, где мы сравниваем полный оборот группы с полным оборотом кольца Мёбиуса. Таким образом, эта связь концептуально очень ясна и проста. Однако в иллюстрации этого топологического аргумента Фейнманом [30], Дираком [31] или Миснером и др. [8], трудно увидеть связь между топологическим аргументом и физической моделью. Например, очень трудно проследить, как распутывание нитей в работе Misner et al.бы сделать точку. Замечание   11.

Представление вращения в виде произведения двух отражений удобно для вычисления произведения двух вращений. Рассмотрим два поворота R1(n1,φ1) и R2(n2,φ2). Назовите π плоскостью, которая определяется n1 и n2. Назовем π1 плоскостью отражения, определяющей R1 как π∘π1, а π2 плоскостью отражения, определяющей R2 как π2∘π. Отсюда следует, что R2∘R1=π2∘π∘π∘π1=π2∘π1.

2.6. Параллельный формализм для векторов

По построению представление SU(2) содержит на данный момент (как мы объяснили) преднамеренно только групповые элементы.Конечно, было бы удобно, если бы мы могли также вычислять действие элементов группы на векторы. Это наш следующий шаг. Мы можем выяснить, как это сделать, основываясь на том факте, что мы уже использовали единичный вектор a для определения отражения A и соответствующей ему матрицы отражения A. И наоборот, отражение A также определяет a с точностью до знака, так что существует взаимно-однозначное соответствие между отражениями A и наборами из двух элементов единичных векторов {a, −a} (и соответствующими наборами из двух элементов матриц отражений {A, −A}).Это взаимно-однозначное соответствие между наборами из двух элементов векторов и отражений фактически навязывает нам формализм для векторов. Мы можем считать, что отражение A и набор его параметров {a,−a} концептуально одно и то же.

Когда отражение движется вокруг группы, вместе с ним будет путешествовать и набор из двух векторов {a,−a}. Поясним, что мы подразумеваем под неофициальным термином «путешествие». В SO(3) вектор v∈R3 имеет матрицу представления 3×1 V. Он преобразуется групповым элементом g с матрицей представления 3×3 G в другой вектор v′=g(v)∈R3: мы просто вычислить матрицу представления 3×1 V′ для g(v) как V′=GV.Таким образом, вектор v перемещается под действием группы к другому вектору v′. Мы хотим подчеркнуть, что в SU(2) все не так просто. Под действием группового элемента g с матричным представлением G отражение A не перейдет к другому отражению A′.

Пусть G — группа, порожденная отражениями. Подгруппа чистых вращений G+⊂G — это подмножество, полученное в результате четного числа отражений. Подмножество G−⊂G, полученное в результате нечетного числа отражений, не является подгруппой.Он содержит отражения и развороты. Отражения, конечно, являются геометрическими объектами другого типа, чем инверсии и чистые вращения. Это также следует из того факта, что отражение определяется единичным вектором a∈S2, где S2 — единичная сфера в R3. Таким образом, он определяется двумя независимыми вещественными параметрами, а повороты и развороты определяются тремя независимыми вещественными параметрами. Элементы группы g1∈G и g2∈G относятся к одному геометрическому типу, если они связаны преобразованием подобия: ∃g∈G:g2=g∘g1∘g−1.Тогда они имеют одинаковый групповой характер.

В общем случае новый групповой элемент gA, полученный операцией с произвольным групповым элементом g∈G над отражением A, больше не будет отражением, которое можно связать с единичным вектором, как это было в случае с A, потому что, вообще говоря, gA может быть другого геометрического типа, чем A. Групповые элементы, которые преобразуют отражение A в другое отражение, B, представляют собой единичный элемент AA=𝕝 и повороты R, которые можно записать как R=BA. Чтобы это было возможно, ось вращения R должна принадлежать плоскости отражения πA от A.Другими словами, отражения не распространяются по общему правилу A→gA.

Чтобы всегда преобразовывать отражение A в другое отражение, мы должны использовать преобразование подобия: A→gAg−1. Следовательно, если B и A являются отражениями, определенными единичными векторами b и a, то существует групповой элемент g∈G, такой что B=gAg−1 и b=g(a). Следовательно, если A — отражение, действующее на r∈R3, то аналогичное отражение B, действующее на g(r)∈R3, будет представлено через g∘A∘g−1. Плоскость отражения πB и нормаль b этого отражения B будут иметь такие же углы по отношению к g(r), как πA и a по отношению к r.Таким образом, мы можем перемещать таким образом отражение A в r по групповым элементам B в g(r), и, конечно, набор параметров {a,−a} будет перемещаться вместе с ним от r к g(r) к a набор параметров {b,−b}={g(a),−g(a)}. Неоднозначность между {a,−a} и {b,−b} также сохраняется. Таким образом, для матриц представления отражений мы имеем:

{[b·σ],−[b·σ]}≡B=GAG−1≡G{[a·σ],−[a·σ]}G−1ifg∈G,

(24)

при этом мы допускаем неоднозначность в знаке b, потому что уравнение (24) является законом преобразования не для векторов, а для отражений и связанных с ними двучленных наборов векторов.

Конечно, идея состоит в том, что g(a)=b,∀g∈G+ и g(a)=−b,∀g∈G−, но совместное присутствие G и G−1 не позволяет воспроизвести изменение знака в формализме, потому что он был разработан для групповых элементов, а не для векторов. Это очень ясно для A(a)=−a, тогда как в формализме A[a·σ]A−1=[a·σ] правильное вычисление для A=A∘A∘A−1. С другой стороны, вектор b, перпендикулярный вектору a, характеризуется соотношением [b·σ][a·σ]=−[a·σ][b·σ].

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим вращение R, которое превращает ex в a и ey в b.Для отражений σx и σy имеем σxσy=−σxσy. Преобразование подобия, основанное на R, преобразует σx в отражение A с матричным представлением [a·σ] и σy в отражение B с матричным представлением [b·σ]. Применение преобразования подобия к σxσy=−σxσy доказывает тождество. Следовательно, [a·σ][b·σ][a·σ]=−[a·σ][a·σ][b·σ]=−[b·σ], а вектор b∈πA принадлежит плоскости отражения и не должен менять знак при отражении A.

Таким образом, мы видим, что во всех случаях мы неправильно получаем знак отраженного вектора.Таким образом, мы можем снять неоднозначность и правильно обращаться с векторами, вводя знак методом перебора:

[b·σ]=+G[a·σ]G−1, если g∈G+,[b·σ]=−G[a·σ]G−1,еслиg∈G−.

(25)

При этом мы отказываемся от формализма групповых элементов и вводим новый формализм векторов. Переход осуществляется путем зарождения и развития идеи о том, что мы можем использовать матрицу A=[a · σ] также как представление единичного вектора a, поскольку матрица A содержит компоненты вектора a, а отражение A определяет .Чтобы избавиться от неоднозначности знаков векторов, существующих в рамках определения матриц отражения, достаточно использовать [a·σ] как представление единичного вектора a и ввести правило, согласно которому [a·σ ] преобразуется в соответствии с:

[a·σ]→[R(a)·σ]=−R[a·σ]R−1 недоотражения R∈G−.v·σ,

(27)

был введен Картаном [4].Это определение позволяет выполнять вычисления с векторами. При чтении Картана могло сложиться впечатление, что у нас есть свободное время, чтобы ввести это определение по своему усмотрению. На самом деле, это не просто определение. Хотя введение идеи в качестве определения не привело бы к ошибкам в формализме, тем не менее это было бы ложным представлением положения дел, потому что мы больше не можем определять вещи по своему усмотрению. Как видно из приведенных выше рассуждений, определение полностью навязано нам взаимно-однозначным соответствием между наборами единичных векторов {a,−a} и отражений A.

Нельзя не подчеркнуть, что даже если отражения A∈ L(R3,R3) и единичные векторы a∈R3 представлены одной и той же матрицей 2×2 [a·σ], они, очевидно, являются совершенно разными величинами, принадлежащими полностью разные пространства L(R3,R3) и R3 и совершенно разные алгебры.

Используя (v1+v2)2−v12−v22=2v1·v2, можно вывести из правила V2=v2𝕝, что V1V2+V2V1=2(v1·v2)𝕝, что можно рассматривать как альтернативное определение параллельный формализм для векторов. Как и предполагалось выше, мы можем использовать этот результат для геометрической проверки правильности правила уравнения (26).В этом отношении достаточно заметить, что отражение A, определяемое единичным вектором a, переводит v в A(v)=v−2(v·a)a. Выраженное в матрицах, это дает: V→-AVA.

Мы видим, что закон преобразования векторов v квадратичен по A, в отличие от закона преобразования элементов группы g, который является линейным: G→AG. Таким образом, векторы преобразуются квадратично как тензорные произведения спиноров ранга 2, тогда как спиноры преобразуются линейно. Это дает нам полное представление о взаимосвязи между векторами и спинорами.Гораздо легче понять эту связь в терминах, которые используются здесь, векторы — это квадратичные выражения в терминах спиноров, чем в эквивалентных терминах, используемых Атьей, спиноры — это квадратные корни векторов.

Замечание   12. Это решение аналогично решению, предложенному Гауссом, Весселем и Арганом для решения проблемы смысла ı=−1. Как описано на стр. 118 ссылки [24], сначала C определяется как R2 с двумя операциями + и ×, определяемыми как (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) и (x1,y1)× (x2,y2)=(x1x2−y1y2,x1y2+x2y1).Затем показывается, что (R,+,×) изоморфно (R,+,×), где R={(x,y)∈C‖y=0}⊂C. Это позволяет идентифицировать R≡R и оправдывает введение обозначений 1≡(1,0)∈R, ı≡(0,1) и (x,y)≡x+ıy. Тогда можно доказать, что ı2≡(0,1)2=(−1,0)≡−1. Тот факт, что это решение загадки, что такое спинор, ускользнуло от внимания, связано с тем, что спиноры в целом вводится на основе конструкции, предложенной в уравнении (29) ниже. Эта конструкция подчеркивает тот факт, что спинор является своего рода квадратным корнем вектора в ущерб развиваемому здесь понятию, и что вектор представляет собой выражение ранга 2 в терминах спиноров.Однако эти отношения между спинорами и векторами являются свойством, представляющим собой лишь вторичное понятие, которое на самом деле не способствует прояснению понятия спинора. Существенным и уточняющим понятием в SU(2) является то, что спинор соответствует вращению.

Читатель заметит, что определение V=v·σ с V2=v2𝕝 аналогично дираковскому способу введения гамма-матриц для записи четырехвектора энергии-импульса в виде Eγt+cp·γ и постулирования (Eγt+cp·γ )2=(E2−c2p2)𝕝. Другими словами, именно метрика определяет весь формализм, потому что мы рассматриваем группы сохраняющих метрику преобразований (как определение геометрии в философии эрлангенской программы Феликса Клейна).

Для получения дополнительной информации об исчислении матриц вращения и обращения мы отсылаем читателя к ссылке [16]. Упомянем только, что, поскольку отражение A работает с вектором v согласно V→−AVA=−AVA−1, вращение R=BA будет работать с ним согласно V→BAVAB=RVR−1=RVR†. Тождество R−1=R† объясняет альтернативным способом, почему представление, которое мы получаем, это SU(2).

Таким образом, в SU(2) есть два параллельных формализма: один для векторов и один для групповых элементов.В обоих формализмах может встречаться матрица V=v·σ, но с разным смыслом. В формализме для групповых элементов v выполняет роль единичного вектора a, который определяет отражение A, так что мы должны иметь |v|=1, и тогда матрица отражения V=A преобразуется в соответствии с: A→GA при a элемент группы g с матричным представлением G. Тогда новый элемент группы, представленный GA, в общем случае больше не будет отражением, которое можно связать с единичным вектором, как это было в случае с A. В формализме векторов |в| может быть отличен от 1, а матрица V (которая теперь представляет собой вектор) преобразуется в соответствии с: V→GVG−1=GVG†.Здесь ГВГ† можно снова связать с вектором.

Мы не можем не подчеркнуть, что векторный формализм — это параллельный формализм, отличный от формализма для отражений, потому что отражения, определяемые a и −a, эквивалентны, а векторы a и −a — нет. Здесь у нас есть две концепции, которые идентичны алгебраически, но не идентичны геометрически, и это является источником большой путаницы. Фольклор о том, что нужно повернуть волновую функцию на 4π, чтобы снова получить ту же самую волновую функцию, является частью этой путаницы.Оператор отражения [a·σ] совершенно отличен от единичного вектора [a·σ], даже если их выражения алгебраически идентичны. Поворачивая плоскость отражения на угол π, мы получаем такое же отражение, а поворот на угол 2π приводит к тому же вектору a.

Замечание   13. Как в матрицах представления A=[a·σ] для отражений A, так и в V=[v·σ] для векторов v величины σx, σy, σz являются тремя матрицами Паули. В представлении (ej↔σj=[ej·σ]), определяемом уравнением (27), матрицы Паули σx,σy,σy являются просто образами, т.е.служит для привлечения внимания к тому факту, что обозначение [v·σ] является чисто условным сокращением для vxσx+vyσy+vzσz, которое кодирует вектор v в формализме. Таким образом, это аналогично педантичной записи vxex+vyey+vzez как: (vx,vy,vz)·(ex,ey,ez). Опасность использования удобного сокращения [v · σ] состоит в том, что оно вызывает в воображении образ скалярного произведения, в то время как скалярного произведения вообще нет. Тот факт, что [v · σ] представляет вектор v и что матрицы Паули σx,σy,σz просто представляют собой базисные векторы ex,ey,ez, было ясно сформулировано Картаном, но тем не менее у физиков есть дурная интерпретация вектора −ħq2m0c[B·σ] как скалярного произведения B·µ в теории аномального g -фактор для электрона.Здесь µ будет магнитным диполем электрона, а −B·µ его потенциальной энергией с магнитным полем B. В действительности B·σ просто выражает псевдовектор магнитного поля B. Величина ħ2σ никогда не может представлять спин , потому что он уже определен в евклидовой геометрии, прежде чем мы применим эту геометрию к физике, где мы хотим рассмотреть спин. Это показывает, что физики не только используют спиноры, как векторы: они также используют векторы, как скаляры. Мы полностью обсудили и привели в порядок эту проблему в [23], где мы предложили лучшую интерпретацию эксперимента Штерна–Герлаха. Замечание   14. Аналогичная путаница возникает в определении спиральности нейтрино [19], с.105–106, уравнение (5.30), [32]. Он определяется как ħ2[u·σ] и считается «проекцией» «спина» ħ2σ на единичный вектор u=p/|p|. Это снова путаница между сокращенным обозначением [u·σ] для представления вектора u и истинным скалярным произведением. Как только что упоминалось, на самом деле [u · σ] просто представляет единичный вектор u. Множитель ħ2 был добавлен только из-за путаницы и убеждения, что тогда ħ2σ будет спиновым оператором, в то время как истинный спиновый оператор равен ħ2[s·σ].В операторе [u·σ] нет абсолютно никакой ссылки на спин. Определение приводит к запутанной дискуссии о разнице между спиральностью и хиральностью в учебниках. Этот пример показывает, что физики не могут отрицать, что рассматривали [u·σ] и [B·σ] как истинные скалярные произведения.
2.8. Обоснование введения алгебры Клиффорда
Автор полностью разобрался в содержании настоящей статьи с нуля, потому что изложения в учебнике показались ему непонятными.Автор также не изучал книги по алгебре Клиффорда [34] углубленно, так что некоторые работы вполне могут послужить мотивацией, которую мы попытаемся дать здесь, и которую мы не смогли найти в учебниках. Наша критика основана на наблюдении, что очень часто математические объекты, которые алгебраически выглядят идентичными, на самом деле являются совершенно разными геометрическими объектами. Мы видели, что представления [v·σ] для векторов v∈R3 можно ввести в формализм, экстраполируя смысл алгебры представлений [a·σ] операторов отражения A∈ L(R3,R3).Мы видели, как смешение A∈L(R3,R3) и a∈R3 из-за алгебраической идентичности их матриц представления [a·σ] может завести нас в концептуальный тупик, когда мы пытаемся придать геометрическое значение бессмысленной алгебре. Это не конец истории. В то время как в теории групп имеет смысл рассматривать произведение R=BA двух отражений B и A и соответствующую матрицу представления R=[b·σ][a·σ], априори не определено, что является чисто формальным Произведение двух векторов v1 и v1, определяемых формулой [v2·σ][v1·σ], предполагается означать.И здесь совершенно разные геометрические объекты представляются одинаковыми алгебраическими выражениями. Мы выучили определения для v1·v2 и для v1∧v2, но не для [v2·σ][v1·σ]. Однако проверка алгебры показывает, что:

[v2·σ][v1·σ]=(v1·v2)𝕝+ı[(v2∧v1)·σ],

(46)

алгебраическое тождество, которое мы использовали при выводе уравнения (8). Здесь мы узнаем знакомые величины v1·v2 и v1∧v2. Принимая во внимание, что этот вид алгебры имеет смысл для матриц отражения, он априори не имеет смысла для векторов.Ему можно придать смысл апостериори в терминах векторов, рискуя ввести в заблуждение, игнорируя тот факт, что векторный формализм является параллельным формализмом, как мы ясно изложили с самого начала. На основе этой путаницы можно получить формализм, посредством которого суммируют величины, которые не относятся к одному и тому же типу, записывая выражения типа:

v2∨v1=v2·v1+v2∧v1,

(47)

как сокращение для уравнения (46). Что делает алгебра Клиффорда, так это определяет mano militare, что такие выражения имеют смысл как алгебра на мультивекторах.Вообще такое определение вводится на ровном месте. Сосредоточившись на чисто алгебраической части формализма, можно перепутать векторы [a·σ] и матрицы отражения [a·σ]. Это имеет ряд неудобств. Во-первых, читателю непонятно, откуда взялась эта идея, ведь алгебра добавляет величины разной симметрии и размерности. Внезапно его учат, что отныне можно добавлять киви и бананы, а раньше ему всю жизнь твердили, что это невыполнимо.Причем делается это негласно, как будто это вообще не будет проблемой. Ничего не делается, чтобы облегчить недоумение критически настроенного читателя. Его только лаконично учат, как привыкнуть, не задавая лишних вопросов. Просто раскатывают алгебру, чтобы читатель мог научиться бездумно ей подражать. Поскольку это довольно просто, читатель быстро с ним ознакомится, так что обоснованные первоначальные вопросы будут замолчать. Тем не менее, он использует алгебраический ярлык для полного геометрического объяснения, используя алгебраические совпадения.

Вторая проблема заключается в том, что после введения определения алгебры Клиффорда с ее кухней добавления киви и бананов вся геометрия вращений, кажется, легко следует из этого определения чрезвычайно элегантным образом. Это создает впечатление, что все получено волшебным образом из воздуха, что действительно заставляет задуматься. На самом деле, единственным важным ингредиентом, который необходим для получения этого мощного и элегантного формализма, кажется непроницаемая ловкость рук добавления киви и бананов.

Конечно, наше изложение выглядит несколько более громоздким и менее элегантным, чем подход, при котором отталкиваются от определения алгебры Клиффорда на широкую ногу. Однако этот элегантный величественный стиль — лишь кратчайший путь к подробному объяснению, и он достигается путем заметания некоторых более утомительных частей под ковер. Сильной стороной нашего подхода является то, что он обеспечивает детальную геометрическую мотивацию полной алгебры Клиффорда. Интересная особенность, которая также существует в нашем подходе, заключается в том, что мы можем рассматривать все виды продуктов:

[a1·σ][a2·σ]⋯[am·σ]=a1∨a2∨⋯∨am.

(48)

Разработанная алгебра содержит выражения, соответствующие гиперпараллелепипедам и другим величинам различной размерности (которые могут быть симметричными или антисимметричными). О симметрии свидетельствует наличие или отсутствие фактора ı. Эти величины преобразуются при вращении R в:

R[a1·σ]R−1R[a2·σ]R−1⋯R[am·σ]R−1=R[a1·σ][a2·σ]⋯[am·σ]R−1.

(49)

Таким образом, то, что мы можем вращать все эти величины в рамках уникального формализма, не является преимуществом алгебры Клиффорда, которого не было бы в нашем исследовательском подходе.Мы видим, что, формализуя алгебру ради элегантности, мы можем получить очень абстрактную формулировку, посредством которой мы полностью теряем из виду ясные геометрические идеи. Математики утверждают, что это не имеет значения. Однако проблема в том, что сейчас царит неразбериха. Кроме того, когда кошка отсутствует, мыши будут играть. Абстракция облегчает бессмысленную экстраполяцию алгебры за пределы, определяемые ее геометрическим смыслом, например, путем введения линейных комбинаций спиноров.С этого момента структура теперь может содержать некоторую хорошо скрытую логическую чепуху, поскольку получение линейных комбинаций спиноров не является разрешенной процедурой. Структура, возникающая в результате этой трансгрессии, представляет собой очень элегантный формализм гильбертова пространства КМ. Теперь это очень абстрактно, и любая очевидная связь с первоначальным геометрическим значением полностью исчезла. Это благоприятствует установке, при которой расчеты становятся гораздо более важными, чем размышления. Собственно говоря, в QM лейтмотивом стало «заткнись и посчитай».Кроме того, спрятав таким образом весь геометрический смысл формализма, физик может войти в комнату и спросить: у меня есть красивый формализм, который с беспрецедентной точностью перемалывает теоретические предсказания, согласующиеся с экспериментальными данными, но я никак не могу понять что это значит.

%PDF-1.5 % 5 0 объект >>>/BBox[0 0 453,5 680,35]/длина 123>>поток xM [#’.\Zb($y!{iI(NՔrYOvt#+R|2q!ۻR}>/>Y#4wCmJkG|4/#~dl$ конечный поток эндообъект 4 0 объект >>>/BBox[0 0 453.5 680,35]/длина 123>>поток xM [#’.\Zb($y!{iI(NՔrYOvt#+R|2q!ۻR}>/>Y#4wCmJkG|4/#~dl$ конечный поток эндообъект 8 0 объект >>>/BBox[0 0 453,5 680,35]/длина 123>>поток xM [#’.\Zb($y!{iI(NՔrYOvt#+R|2q!ۻR}>/>Y#4wCmJkG|4/#~dl$ конечный поток эндообъект 7 0 объект >>>/BBox[0 0 453,5 680,35]/длина 123>>поток xM [#’.\Zb($y!{iI(NՔrYOvt#+R|2q!ۻR}>/>Y#4wCmJkG|4/#~dl$ конечный поток эндообъект 9 0 объект >>>/BBox[0 0 453,5 680,35]/длина 123>>поток xM [#’.\Zb($y!{iI(NՔrYOvt#+R|2q!ۻR}>/>Y#4wCmJkG|4/#~dl$ конечный поток эндообъект 3 0 объект >>>/BBox[0 0 453.5 680,35]/длина 123>>поток xM [#’.\Zb($y!{iI(NՔrYOvt#+R|2q!ۻR}>/>Y#4wCmJkG|4/#~dl$ конечный поток эндообъект 10 0 объект >>>/BBox[0 0 453,5 680,35]/длина 123>>поток xM [#’.\Zb($y!{iI(NՔrYOvt#+R|2q!ۻR}>/>Y#4wCmJkG|4/#~dl$ конечный поток эндообъект 6 0 объект >>>/BBox[0 0 453,5 680,35]/длина 123>>поток xM [#’.\Zb($y!{iI(NՔrYOvt#+R|2q!ۻR}>/>Y#4wCmJkG|4/#~dl$ конечный поток эндообъект 1 0 объект >>>/BBox[0 0 453,5 680,35]/длина 123>>поток xM [#’.\Zb($y!{iI(NՔrYOvt#+R|2q!ۻR}>/>Y#4wCmJkG|4/#~dl$ конечный поток эндообъект 12 0 объект >поток Королевское общество ©2017ABBYY Recognition Server; изменено с помощью iText 4.2.0 от 1T3XT

  • Королевское общество © 2017
  • Trueroyalsociety.org конечный поток эндообъект 13 0 объект >поток x+

    Что означает спинор — Определение спинора

    В геометрии и физике спиноров являются элементами (комплексного) векторного пространства, которое можно связать с евклидовым пространством.Подобно геометрическим векторам и более общим тензорам, спиноры линейно преобразуются, когда евклидово пространство подвергается небольшому (бесконечно малому) вращению. Однако когда последовательность таких малых вращений составляется (интегрируется) для формирования общего конечного вращения, результирующее спинорное преобразование зависит от того, какая последовательность малых вращений была использована: 90 511, в отличие от 90 512 векторов и тензоров, спинор преобразуется в свой отрицательный, когда пространство поворачивается на полный оборот от 0° до 360° (см. рисунок).Это свойство характеризует спиноры. Также возможно связать существенно похожее понятие спинора с пространством Минковского, и в этом случае преобразования Лоренца специальной теории относительности играют роль вращений. Спиноры были введены в геометрию Эли Картаном в 1913 году. В 1920-х годах физики обнаружили, что спиноры необходимы для описания собственного углового момента или «спина» электрона и других субатомных частиц.

    Спиноры характеризуются особым поведением при вращении.Они меняются по-разному в зависимости не только от общего конечного вращения, но и от деталей того, как это вращение было достигнуто (путем непрерывного пути в группе вращения). Есть два топологически различимых класса (гомотопических классов) путей через вращения, которые приводят к одному и тому же полному вращению, как это хорошо показано в задаче с трюком с поясом (ниже). Эти два неэквивалентных класса дают спинорные преобразования противоположного знака. Группа вращения — это группа всех вращений, отслеживающая класс.Он дважды покрывает группу вращений, поскольку каждое вращение может быть получено двумя неэквивалентными способами как конечная точка пути. Пространство спиноров по определению оснащено (комплексным) линейным представлением спинорной группы, что означает, что элементы спинорной группы действуют как линейные преобразования в пространстве спиноров таким образом, который действительно зависит от гомотопического класса.

    Хотя спиноры могут быть определены просто как элементы пространства представления спиновой группы (или ее алгебры Ли бесконечно малых вращений), они обычно определяются как элементы векторного пространства, несущего линейное представление алгебры Клиффорда.Алгебра Клиффорда — это ассоциативная алгебра, которая может быть построена из евклидова пространства и его скалярного произведения независимым от базиса способом. И спиновая группа, и ее алгебра Ли естественным образом встраиваются в алгебру Клиффорда, и в приложениях с алгеброй Клиффорда часто проще всего работать. После выбора ортонормированного базиса евклидова пространства представление алгебры Клиффорда генерируется гамма-матрицами, матрицами, которые удовлетворяют набору канонических антикоммутационных соотношений.Спиноры — это векторы-столбцы, на которые действуют эти матрицы. Например, в трех евклидовых измерениях спиновые матрицы Паули представляют собой набор гамма-матриц, а двухкомпонентные комплексные векторы-столбцы, на которые действуют эти матрицы, являются спинорами. Однако конкретное матричное представление алгебры Клиффорда и, следовательно, то, что именно составляет «вектор-столбец» (или спинор), существенным образом включает выбор базиса и гамма-матриц. В качестве представления спиновой группы эта реализация спиноров в виде (комплексных) векторов-столбцов будет либо неприводимой, если размерность нечетна, либо она будет распадаться на пару так называемых «полуспиновых» или представлений Вейля, если размерность даже.

    Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.


    Настройка браузера для приема файлов cookie

    Существует множество причин, по которым файл cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее распространенные причины:

    • В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки браузера, чтобы принять файлы cookie, или спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
    • Ваш браузер спрашивает, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файл cookie.
    • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Попробуйте другой браузер, если вы подозреваете это.
    • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы это исправить, установите правильное время и дату на своем компьютере.
    • Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

    Почему этому сайту требуются файлы cookie?

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Предоставить доступ без файлов cookie потребует от сайта создания нового сеанса для каждой посещаемой вами страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.


    Что сохраняется в файле cookie?

    Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в файле cookie; никакая другая информация не фиксируется.

    Как правило, в файле cookie может храниться только та информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, если вы не решите ввести его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступ к остальной части вашего компьютера, и только сайт, создавший файл cookie, может его прочитать.

    4.1: От триад и углов Эйлера к спинорам. Эвристическое введение

    Как уже упоминалось в разделе 2.4.3, очевидна идея обогатить формализм алгебры Паули введением комплексного векторного пространства \(\mathcal{V}(2, C)\), на котором действуют матрицы . Двухкомпонентные комплексные векторы традиционно называют спинорами . Мы хотим показать, что они дают начало широкому кругу приложений . Фактически мы введем понятие спинора как естественный ответ на проблему, возникающую в контексте вращательного движения.

    В разделе 2 мы рассмотрели повороты как операции, выполняемые над векторным пространством. Хотя этот подход позволил нам дать теоретико-групповое определение магнитного поля, вектор не является подходящей конструкцией для объяснения вращения ориентируемого объекта. Простейшей математической моделью, подходящей для этой цели, является декартова (ортогональная) трехсистема координат, кратко — триада . Задача состоит в том, чтобы рассмотреть две триады с совпадающими началами и описать вращение рамки объекта относительно пространственной рамки.Триады представлены в терминах их соответствующих единичных векторов: пространственная система отсчета как \(\sum_{s} (\hat{x}_{1}, \hat{x}_{2}, \hat{x}_ {3})\) и фрейм объекта как \(\sum_{s} (\hat{e}_{1}, \hat{e}_{2}, \hat{e}_{3})\ ). Здесь c означает «корпус», поскольку o для «объекта» кажется двусмысленным. Рамки выбираем правосторонними.

    Эти ориентируемые объекты не являются точечными, и их параметризация создает новые проблемы. В этом смысле мы можем называть триады «высшими объектами», в отличие от точек, которые являются «низшими объектами».Легче всего на ум приходит мысль рассмотреть девять направлений косинусов \(\hat{e}_{i} \cdot \hat{x}_{k}\), но это нецелесообразно из-за шести соотношений подключение этих параметров. Эта трудность устраняется тремя независимыми эйлеровыми углами, весьма изобретательным набором конструкций, которые тем не менее оставляют нам другую проблему: эти параметры не обладают хорошими алгебраическими свойствами; их связь с обычным евклидовым векторным пространством обеспечивается довольно громоздкими соотношениями.Эта последняя трудность решается концепцией спинора .

    Теория вращения триад обычно рассматривалась в контексте механики твердого тела. Согласно традиционному определению, твердое тело — это «совокупность точечных частиц, сохраняющих жесткие расстояния». Такая система не поддается полезному релятивистскому обобщению. И это определение нелегко согласовать с принципом неопределенности Гейзенберга.

    Поскольку настоящее обсуждение нацелено на приложения к теории относительности и квантовой механике, мы спешим отметить, что мы рассматриваем триаду как точную математическую модель для работы с объектами, которые можно ориентировать в пространстве.

    Хотя мы кратко рассмотрим вращение твердого тела в разделе 4.2, понятие жесткости в смысле, определенном выше , не является существенным в нашем рассуждении .

    Обратимся теперь к эвристическому аргументу, который естественным образом ведет нас от вращения триады к понятию спинора.

    Согласно теореме Эйлера любое перемещение твердого тела, закрепленного в точке O, эквивалентно вращению вокруг оси, проходящей через O. (См. [Whi64], стр. 2.)

    Эта теорема дает обоснование для описания ориентационной конфигурации \(\sum_{c}\) в терминах унитарной матрицы в \(\mathcal{SU}(2)\), которая производит рассматриваемую конфигурацию из стандартного положения в котором оба кадра совпадают. Обозначая унитарные унимодулярные матрицы, соответствующие двум конфигурациям, через \(V_{1}, V_{2}\), переход между ними осуществляется оператором U.

    \[\begin{array}{c} {V_{2} = UV_{1}} \end{array} \label{EQ4.{2} = 1} \end{массив} \label{EQ4.1.3}\]

    Уравнениям 4.1.1 — 4.1.3 можно дать элегантную геометрическую интерпретацию: \(q_{0}, \vec{q}\) рассматриваются как координаты точки на трехмерной единичной гиперсфере в четырехмерном пространстве. размерное пространство \(\mathcal{V}(4, R)\). Таким образом, вращение триады отображается на вращение этой гиперсферы. Операция оставляет \ref{EQ4.1.3} неизменным.

    Формализм эллиптической геометрии, аналог гиперболической геометрии в пространстве Минковского.

    Эта геометрия подразумевает «метрику»: «расстояние» двух перемещений \(V_{1}\) и \(V_{2}\) определяется как

    \[\ begin {массив} {c} {\ frac {1} {2} Tr (V_ {2} \ tilde {V} _ {1}) = \ cos \ frac {\ phi_ {1}} {2 } \cos \frac{\phi_{2}}{2}+\sin \frac{\phi_{1}}{2} \sin \frac{\phi_{2}}{2} \hat{v}_ {1} \cdot \шляпа{v}_{2}} \end{массив}\]

    \[\begin{array}{c} {= \cos \frac{\phi}{2} = q_{10}q_{20}+\vec{q}_{1} \cdot \vec{q} _{2}} \end{массив}\]

    , где \(\phi\) — угол поворота, переносящий \(V_{1}\) в \(V_{2}\).Обратите внимание на аналогию с гиперболической формулой 2.4.67 в разделе 2.4.3.

    Мы имеем здесь пример интересного принципа геометрии: «более высокий объект» в более низком пространстве часто может быть представлен как «более низкий объект», т. е. точка в более высоком пространстве. «Высший объект» — это триада в обычном пространстве \(\mathcal{V}(3, R)\). Он представлен в виде точки в высшем пространстве \(\mathcal{V}(4, R)\).

    Мы увидим, что этот принцип играет важную роль в интуитивной интерпретации квантовой механики. точек в абстрактных пространствах этой теории должны быть связаны со сложными объектами в обычном пространстве.

    Хотя представление оператора вращения U и вращающегося объекта V в терминах одной и той же параметризации можно считать источником математической элегантности, оно также имеет недостаток. Вращающиеся объекты могут иметь предпочтительную внутреннюю ориентацию, такую ​​как ось фигуры или спин электрона, для которого нет аналога в уравнениях \ref{EQ4.1.1} и \ref{EQ4.1.3}.

    Эту ситуацию исправляет следующая хитрость. Пусть ось фигуры указывает вдоль единичного вектора \(\hat{e}_{3}\), который в стандартном положении совпадает с \(\hat{x}_{3}\). Вместо того, чтобы генерировать объектную матрицу V в С точки зрения однократного вращения мы считаем, что следующая стандартная последовательность читается справа налево (см. рис. 5.1):

    \[\begin{array}{c} {U(\шляпа{x}_{3}, \frac{\alpha}{2}) U(\шляпа{x}_{2}, \frac{\ beta}{2})U(\hat{x}_{3}, \frac{\gamma}{2}) = V(\alpha, \beta, \gamma)} \end{array} \label{EQ4 .1.6}\]

    Здесь \(\alpha, \beta, \gamma\) — известные углы Эйлера, а последовательность вращений — один из вариантов, традиционно используемых для их определения.

    Обозначение требует пояснений. Мы будем продолжать использовать, как и в разделе 2, \(U(\hat{u}, \phi/2)\) для унитарной матрицы \(2 \times 2\), параметризованной в терминах переменных угла оси. Мы будем называть это также одноосной параметризацией в отличие от двухосной параметризации унитарных V-матриц, в которой и пространственное направление \(\hat{x}_{3}\), и ось фигуры \(\ hat{e}_{3}\), играют привилегированную роль.

    В уравнении \ref{EQ4.1.6} повороты определяются вдоль осей, указанных в пространственной системе координат \(\sum_{s}\). Однако в ходе каждой операции ось фиксируется в обеих рамах. Таким образом, это просто вопрос другого имени (псевдоним I) для описания операции (4) в \(\sum_{c}\). Тогда для той же унитарной матрицы имеем

    \[\begin{array}{c} {V(\alpha,\beta,\gamma) = U(\hat{e}_{3}, \frac{\gamma}{2}) U(\hat {e}_{2}, \frac{\beta}{2})U(\hat{e}_{3}, \frac{\alpha}{2})} \end{array} \label{EQ4 .1.7}\]

    Обратите внимание на инверсию последовательности операций с поворотами a и y. Это соотношение следует интерпретировать в кинематическом смысле: корпус тела перемещается из начальной ориентации совпадения с \(\sum_{s}\) в конечное положение.

    Эквивалентность \ref{EQ4.1.6} и \ref{EQ4.1.7} может быть признана геометрической интуицией, а также явными преобразованиями между \(\sum_{s}\) и \(\sum_{c}\ ). (См. [Got66], стр. 268).

    В литературе часто рассматривается последовательность

    \[\begin{array}{c} {U(\шляпа{x}_{3}», \frac{\gamma}{2}) U(\шляпа{x}_{2}’, \ frac{\beta}{2})U(\hat{x}_{3}, \frac{\alpha}{2})} \end{массив}\]

    , где \(\hat{x}_{2}’\) и \(\hat{x}_{3}»\) — положения оси после первого и второго шага соответственно.У этой процедуры, кажется, есть неудобное свойство, заключающееся в том, что разные вращения выполняются в разных местах. Однако при ближайшем рассмотрении можно заметить, что уравнение 5.1.8 отличается от уравнения \ref{EQ4.1.7} только обозначениями. В обычной статической интерпретации \(\hat{e}_{1}, \hat{e}_{2}, \hat{e}_{3}\) используется только для окончательной конфигурации, а \( \hat{x}_{2}’, \hat{x}_{3}»\) вводятся как вспомогательные оси. Если, напротив, посмотреть на кинематический кадр объекта, то становится понятно, что в момент определенных поворотов совпадают следующие оси:

    \[\begin{array}{ccc} {\шляпа{х}_{3} = \шляпа{е}_{3}}&{\шляпа{х}_{2}’ = \шляпа{е} _{2}}&{\шляпа{х}_{3}» = \шляпа{е}_{3}} \конец{массив}\]

    Теперь запишем уравнение \ref{EQ4.{i \gamma/2}} \end{массив} \label{EQ4.1.11}\]

    Четыре матричных элемента, появляющиеся в этом отношении, являются так называемыми параметрами Кэли-Клейна. (См. уравнение 2.4.43 в разделе 2.4.2.)

    Общим свойством матриц алгебры \(\mathcal{A}_{2}\) является то, что они могут быть представлены либо в терминах компонентов, либо в терминах матричных элементов. Мы пришли к выводу, что представление унитарной матрицы в терминах элементов пригодно для параметризации ориентационной конфигурации, а оператор вращения представлен в терминах компонент (переменных угла оси).{\ dagger} V = \ begin {pmatrix} {\ langle \ xi |} \\ {\ langle \ bar {\ xi} |} \ end {pmatrix} (| \ xi \ rangle, | \ bar {\ xi} \rangle)} \end{массив}\]

    \[\ begin {массив} {c} {= \ begin {pmatrix} {\ langle \ xi | \xi \rangle}&{\langle \xi | \bar{\xi} \rangle}\\ {\langle \bar{\xi} | \xi \rangle}&{\langle \bar{\xi} | \bar{\xi} \rangle} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{1} \end{pmatrix}} \end{массив}\]

    сразу дает условия ортонормированности

    \[\ begin {массив} {c} {\ langle \ xi | \xi \rangle = \langle \bar{\xi} | \ бар {\ xi} \ rangle = 1} \\ {\ langle \ xi | \bar{\xi} \rangle = \langle \bar{\xi} | \xi \rangle} \end{массив} \label{EQ4.1.18}\]

    Конечно, их можно проверить прямым вычислением. Ортогональные спиноры также называются сопряженными спинорами.

    Из этих соотношений мы видим, что наше определение спинового сопряжения действительно разумно. Однако значение этого понятия богаче, чем можно предположить по аналогии с отношением ортонормированности в реальной области.

    Прежде всего, мы выражаем спиновое сопряжение в терминах матричной операции. Отношение нелинейное, так как включает операцию комплексного сопряжения \(\mathcal{K}\)

    У нас есть

    \[\begin{массив}{с} {| \bar{\xi} \rangle = \begin{pmatrix} {0}&{-1}\\ {1}&{0} \end{pmatrix} \mathcal{K} | \xi \rangle = -i \sigma_{2} \mathcal{K} | \xi \rangle} \end{массив}\]

    и

    \[\ begin {массив} {c} {\ langle \ bar {\ xi} | = \mathcal{K} \langle \xi | \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-1}&{0} \end{pmatrix} = \mathcal{K} \langle \xi | я \sigma_{2}} \end{массив}\]

    Получаем отсюда

    \[\begin{массив}{cc} {| \bar{\bar{\xi}} \rangle = -| \xi \rangle}&{\langle \bar{\bar{\xi}} | = -\langle \xi |} \end{массив} \label{EQ4.1.21}\]

    Обозначение штриха для спинового сопряжения предполагает связь с комплексным отражением алгебры Паули. Мы увидим, что такая связь действительно существует. Однако мы должны помнить, что, в отличие от уравнения \ref{EQ4.1.21}, комплексное отражение является инволютивным, т. е. его итерация представляет собой тождество \(\bar{\bar{A}} = A\).

    Появление отрицательного знака в уравнении \ref{EQ4.1.21} является хорошо известным свойством спиновой функции, однако мы должны отложить обсуждение этого интригующего факта на потом.

    Иногда мы будем называть спиноры, нормализованные согласно уравнению \ref{EQ4.1.18}, унитарными спинорами , чтобы отличить их от релятивистских спиноров , нормированных как \(\langle \xi | \xi \rangle = k_{ 0}\) где \(k_{0}\) — 0-я компонента четырехмерного вектора.

    Рассмотрим подробнее связь между спинорами и триадами. В нашей эвристической процедуре мы начали с триады объектов, заданной тремя ортонормированными единичными векторами \(\hat{e}_{1}, \hat{e}_{2}, \hat{e}_{3}\) и пришли к эквивалентной спецификации в терминах ассоциированного спинора \(| \xi \rangle\).{2}}&{\xi_{0} \xi_{1}} \end{pmatrix}} \end{массив} \label{EQ4.1.23}\]

    , которые можно рассматривать как произведения матрицы \(2 \times 1\) и \(1 \times 2\).

    Чтобы установить связь с единичными векторами \(\hat{e}_{k}\), рассмотрим сначала единичную конфигурацию, в которой триады совпадают: \(\alpha = \beta = \gamma = 0\ ), то есть

    \[\begin{array}{ccc} {\xi_{0} = 1, \xi_{1} = 0}&{или}&{| \xi \rangle = \begin{pmatrix} {1}\\ {0} \end{pmatrix}} \end{массив}\]

    с

    \[\begin{массив}{с} {| \bar{\xi} \rangle = \begin{pmatrix} {0}\\ {1} \end{pmatrix}} \end{массив}\]

    Обозначая эти спиноры кратко как \(|1 \rangle\) и \(|\bar{1} \rangle\) соответственно, мы получаем из \ref{EQ4.1.22} и \ref{EQ4.1.23}

    \[\begin{array}{c} {|1 \rangle \langle 1| = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}(1+\sigma_{3}) = \frac{1 }{2}(1+\шляпа{x_{3}} \cdot \vec{\sigma})} \end{массив} \label{EQ4.1.26}\]

    \[\begin{array}{c} {|1 \rangle \langle \bar{1}| = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}(\sigma_{1}+i \sigma_{2}) = \frac{1}{2}(\шляпа{x_{1}}+i \шляпа{x_{2}}) \cdot \vec{\sigma}} \end{массив} \label{EQ4.1.27} \]

    Пусть V будет унитарной матрицей, которая переносит рамку объекта из единичной позиции в \(\sum_{c} (\hat{e}_{1}, \hat{e}_{2}, \hat{e} _{3})\).{-1}\) соответственно получаем

    \[\begin{array}{c} {|1 \rangle \langle 1| = \frac{1}{2}(1+\hat{e_{3}} \cdot \vec{\sigma})} \end{массив} \label{EQ4.1.30}\]

    \[\begin{array}{c} {|1 \rangle \langle \bar{1}| =\frac{1}{2}(\шляпа{e_{1}}+i \шляпа{e_{2}}) \cdot \vec{\sigma}} \end{массив} \label{EQ4.1.31} \]

    и, следовательно, с помощью уравнения 2.4.13 раздела 2.4.2,

    \[\begin{array}{c} {\hat{e}_{1} = Tr(|\xi \rangle \langle \xi|\vec{\sigma}) = \langle \xi | \vec{\sigma} \xi \rangle} \end{массив} \label{EQ4.1.32}\]

    \[\begin{array}{c} {\шляпа{е}_{1}+ я \шляпа{е}_{2} = Tr(|\xi \rangle \langle \bar{\xi}| \ vec{\sigma}) = \langle \bar{\xi} | \vec{\sigma} \xi \rangle} \end{массив} \label{EQ4.1.33}\]

    Мы использовали здесь правило:

    \[\begin{array}{c} {Tr(|\xi \rangle \langle \eta|) = \langle \eta | \xi \rangle} \end{массив}\]

    Уравнения \ref{EQ4.1.32} и \ref{EQ4.1.33} составляют наиболее компактное выражение для отношения между спинором и связанной с ним триадой.{2})} \\ {\ шляпа {е} _ {13} + я \ шляпа {е} _ {23} = \ langle \ бар {\ xi} | \сигма_{3} | \xi \rangle = -2\xi_{0} \xi_{1}} \end{массив} \label{EQ4.1.37}\]

    Используя уравнение \ref{EQ4.1.11}, мы получаем эти величины через углы Эйлера

    \[\begin{array}{c} {e_{31} = \sin \beta \cos\alpha}\\ {e_{32} = \sin \beta \sin\alpha}\\ {e_{33} = \cos\beta}\end{массив}\]

    \[\begin{array}{cc} {e_{11} = \cos\gamma\cos\beta\cos\alpha-\sin\gamma\sin\alpha}&{e_{21} = -\sin\ gamma \cos\beta\cos\alpha-\cos\gamma\sin\alpha}\\ {e_{12} = \cos\gamma\cos\beta\sin\alpha+\sin\gamma\cos\alpha}&{ e_{22} = -\sin\gamma\cos\beta\sin\alpha+\cos\gamma\cos\alpha}\\ {e_{13} = -\cos\gamma\sin\beta}&{e_{23 } = \sin\gamma\sin\beta} \end{массив}\]

    Связь между векторами и спинорами отображается в уравнениях \ref{EQ4.1.36} можно установить и с помощью стереографической проекции. Этот метод дает более быстрые результаты, чем нынешнее длительное наращивание, которое, в свою очередь, имеет более широкий охват. Вместо вращения векторных пространств мы работаем с триадами и, таким образом, также получаем уравнение \ref{EQ4.1.37}. Насколько мне известно, эта связь не встречалась в литературе.

    Уравнения \ref{EQ4.1.36} и \ref{EQ4.1.37} решают проблему параметризации, поставленную в начале этой главы. Девять взаимосвязанных направляющих косинусов \(e_{jk}\).выражаются тремя независимыми спинорными параметрами.

    Это аналог задачи параметризации, касающейся девяти параметров матриц \(\mathcal{SO}(3)\) (см. стр. 13), проблемы, которая была решена с помощью SU(2)-представления \( \mathcal{SO}(3)\) с унитарными матрицами \(U(\hat{u}, \phi/2)\).

    Примечательно, что решающий шаг в обоих случаях был сделан Эйлером, который ввел «углы Эйлера» \(\alpha, \beta, \gamma\), а также параметры ось-угол \(\hat{u}, \ phi\) для операторов вращения.

    Результаты Эйлера воплощаются в версии спинорного исчисления, в которой спиноры, представляющие ориентационные состояния, параметризуются в терминах углов Эйлера, а унитарные операторы — в терминах \(\hat{u}, \phi\).

    Мы предлагаем продемонстрировать легкость, с которой этот формализм поддается алгебраическим операциям. Это происходит, в частности, из конструкций \ref{EQ4.1.30} и \ref{EQ4.1.31}, в которых мы распознаем сингулярные матрицы таблицы 2.2 (стр. 46).

    Мы определяем более полно

    \[\begin{array}{c} {|\xi \rangle \langle \xi| = \frac{1}{2}(1+\hat{e}_{3} \cdot \vec{\sigma}) \equiv E_{3}}\\ {|\bar{\xi} \rangle \ угол \ бар {\ xi} | = \frac{1}{2}(1-\hat{e}_{3} \cdot \vec{\sigma}) \equiv \bar{E}_{3}}\\ {|\xi \rangle \langle \bar{\xi}| = \frac{1}{2}(\шляпа{e}_{1}+i\шляпа{e}_{2}) \cdot \vec{\sigma} \equiv E_{+}}\\ {| \bar{\xi} \rangle \langle \xi| = \frac{1}{2}(\hat{e}_{1}-i\hat{e}_{2}) \cdot \vec{\sigma} \equiv E_{-} = — \bar{ E}_{+}} \end{массив} \label{EQ4.1.40}\]

    Здесь \(E_{3}, \bar{E}_{3}\) — идемпотентных проекционных операторов и \(E_{+}, E_{-}\) нильпотентных операторов шага . Поскольку \(E_{3}+\bar{E}_{3} = 1\), мы имеем

    \[\begin{array}{c} {|\eta \rangle = |\xi \rangle \langle \xi | \эта\rangle+| \bar{\xi} \rangle \langle \bar{\xi} | \эта\rangle} \end{массив}\]

    \[\begin{array}{c} {= |\xi \rangle a_{0}+|\bar{\xi} \rangle a_{1}} \end{array} \label{EQ4.1.42}\ ]

    с

    \[\begin{array}{cc} {a_{0} = \langle \xi | \eta \rangle}&{a_{1} = \langle \bar{\xi} | \eta \rangle} \end{массив} \label{EQ4.1.43}\]

    Также,

    \[\begin{array}{cc} {E_{+} | \бар{\xi} \rangle = | \xi \rangle}&{ E_{-}| \xi \rangle = | \bar{\xi} \rangle} \end{массив}\]

    \[\begin{array}{cc} {E_{+} | \xi \rangle = 0}&{ E | \bar{\xi} \rangle = 0} \end{массив}\]

    Из уравнений \ref{EQ4.1.40} видно, что переход \(|\xi \rangle \rightarrow | \bar{\xi} \rangle\) соответствует инверсии оси фигуры с одновременным инверсией \ (\gamma\)-вращение вокруг оси.Поэтому преобразование соответствует переходу от правой к левой системе отсчета с одновременным изменением с против часовой стрелки на по часовой стрелке как положительное направление вращения. Таким образом, переход от 4.1.40c к 4.1.40d следует рассматривать как \(E_{+} \rightarrow \bar{E}_{+}\), или

    \[\ begin {массив} {c} {\ frac {1} {2} (\ hat {e} _ {1} + i \ hat {e} _ {2}) \ cdot \ vec {\ sigma} \rightarrow 1[-\шляпа{е}_{1}-i(-\шляпа{е}_{2})] \cdot \vec{\sigma}} \end{массив}\]

    Все это становится очевидным также, если мы представим переход \(|\xi \rangle \rightarrow | \bar{\xi} \rangle\) через углы Эйлера как

    \[\ begin {массив} {c} {\ alpha \ rightarrow \ pi + \ alpha} \ end {массив} \]

    \[\ begin{array}{c} {\beta \rightarrow \pi-\beta} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {\gamma \rightarrow \pi-\gamma} \end{array}\]

    Отметим также следующие отношения для дальнейшего использования:

    \[\begin{array}{cc} {E_{-}E_{+} = \bar{E}_{3}}&{E_{+}E_{-} = E_{3}} \end{ массив}\]

    В дополнение к коротким символам \(|\xi \rangle, | \bar{\xi} \rangle\) для спиноров и их сопряженных мы будем использовать также более явные обозначения в зависимости от контекста:

    \[\begin{array}{c} {|\alpha, \beta, \gamma \rangle = |\pi+\alpha, \pi-\beta, \pi-\gamma \rangle} \end{array}\ ]

    \[\begin{array}{c} {|\hat{k} \gamma \rangle, |\hat{k} \gamma \rangle = |-\hat{k}, \pi-\gamma \rangle} \конец{массив}\]

    \[\begin{array}{c} {|\шляпа{k} \rangle, |\шляпа{k} \rangle = |-\шляпа{k} \rangle} \end{массив}\]

    Здесь \(\hat{k}\) — единичный вектор, обозначенный \(\hat{e}_{3}\) в уравнении 5.1.30. Его связь со спинором очевидна из следующей проблемы собственных значений.

    Используя уравнения \ref{EQ4.1.40} и \ref{EQ4.1.18}, мы получаем

    \[\ begin {массив} {c} {\ frac {1} {2} (1+ \ hat {k} \ cdot \ vec {\ sigma}) | \шляпа{к} \rangle = | \ шляпа {k} \ rangle \ langle \ шляпа {k} | \шляпа{к} \rangle = | \шляпа{к} \rangle} \конец{массив}\]

    \[\ begin {массив} {c} {\ frac {1} {2} (1- \ hat {k} \ cdot \ vec {\ sigma}) | \ бар {\ шляпа {k}} \ rangle = | \bar{\шляпа{k}} \rangle \langle \bar{\шляпа{k}} | \ бар {\ шляпа {k}} \ rangle = | \bar{\шляпа{k}} \rangle} \end{массив}\]

    Отсюда

    \[\ begin {массив} {c} {\ hat {k} \ cdot \ vec {\ sigma} | \ шляпа {\ rangle} к знак равно | \hat{k} \rangle} \end{массив} \label{EQ4.1.56}\]

    \[\ begin {массив} {c} {\ hat {k} \ cdot \ vec {\ sigma} | \ шляпа {\ rangle} к знак равно | \шляпа{k} \rangle} \end{массив} \label{EQ4.1.57}\]

    Таким образом, \(| k \rangle\) и \(| \hat{k} \rangle\) являются собственными векторами эрмитова оператора \(k \cdot \vec{\sigma}\) с собственными значениями \(+1 \) и \(-1\) соответственно.{-i \phi/2}} \end{pmatrix}} \end{массив}\]

    действие которого легко описать:

    \[\begin{array}{c} {U(\hat{x}_{3}, \phi/2) |\alpha, \beta, \gamma \rangle = |\alpha+\phi, \beta, \гамма\rangle} \end{массив}\]

    Эти соотношения выявляют «двухосный» характер спиноров: и \(\шляп{х}_{3}\), и \(\шляп{к}\) играют заметную роль.То же самое относится к унитарной матрице, параметризованной через углы Эйлера: \(V (\alpha, \beta, \gamma)\) или параметры Кэли-Клейна. Это следует противопоставить одноосной форме \(U(\hat{u}, \phi/2)\).

    До сих пор наше обсуждение в этой главе было чисто геометрическим, хотя активным преобразованиям геометрических объектов можно дать кинематическую интерпретацию. Теперь мы делаем еще один шаг и вводим понятие времени. Поставив \(\phi = \omega t\) с константой \(\omega\) в унитарном операторе вращения, мы получим описание процессов вращения:

    \[\begin{array}{c} {U(\hat{k}, \frac{\omega t}{2}) | \hat{k}, \frac{\gamma}{2} \rangle = \exp (-i \omega t/2) | \шляпа{k}, \frac{\gamma}{2} \rangle = | \шляпа{k}, \frac{\gamma+ \omega t}{2} \rangle}\\ {U(\шляпа{k}, \frac{\omega t}{2}) | \overline{\hat{k}, \frac{\gamma}{2}} \rangle = \exp (-i \omega t/2) | \шляпа{k}, \frac{\gamma}{2} \rangle = | \overline{\hat{k}, \frac{\gamma+ \omega t}{2}} \rangle} \end{array} \label{EQ4.{-1}(\шляпа{k}, \frac{\omega t}{2}) = \langle \eta | \exp (i \frac{\omega t}{2} \hat{k} \cdot \vec{\sigma})} \end{array} \label{EQ4.1.63}\]

    Или в дифференциальной форме

    \[\begin{массив}{с} {я | \dot{\eta} \rangle = \frac{\omega}{2} \hat{k} \cdot \vec{\sigma} | \eta \rangle}\\ {-i \langle \dot{\eta} | = \ лангле \ эта | \frac{\omega}{2} \hat{k} \cdot \vec{\sigma}} \end{array} \label{EQ4.1.64}\]

    Функции состояния, решающие эти дифференциальные уравнения, получаются явным образом с помощью уравнений \ref{EQ4.1.42}, \ref{EQ4.1.43}, \ref{EQ4.1.62} и \ref{EQ4.1.63}:

    \[\begin{массив}{с} {| \eta(t) \rangle = U(\hat{k}, \frac{\omega t}{2}) | \eta (0) \rangle = \exp (-i \omega t/2) | \hat{k} \rangle a_{0} + \exp (i \omega t/2) | \bar{\шляпа{k}} \rangle a_{1}} \end{массив}\]

    и аналогично для \(\langle \eta(t) |\).

    Вводя символ H для эрмитова оператора \(H = (\omega t/2) \hat{k} \cdot \vec{\sigma}\) в \ref{EQ4.1.64}, мы получаем

    \[\begin{массив}{с} {я | \dot{\eta} \rangle = H | \эта\rangle} \end{массив}\]

    \[\begin{array}{c} {-i \langle \dot{\eta} | = \ лангле \ эта | Н} \конец{массив}\]

    Эти уравнения напоминают уравнение Шрёдингера.Также было бы легко вывести отсюда операторное уравнение типа Гейзенберга.

    Тем, кто знаком с квантовой механикой, должно быть очевидно, что весь наш спинорный формализм имеет ярко выраженный квантово-механический оттенок. Все это означает, что ориентируемость объектов имеет первостепенное значение в квантовой механике, и концепция триады дает нам более прямой путь к квантованию или к некоторым его аспектам, чем традиционный подход к точечной массе.

    Чтобы воспользоваться этой возможностью, мы должны применить наш спинорный формализм к физическим системам.

    Мы используем понятие времени в уравнениях 4.1.62–4.1.66 довольно формально. Мы просто выбрали однопараметрическую подгруппу группы вращений для описания возможных типов стационарного вращения.

    Мы должны обратиться к эксперименту или к экспериментально установленной динамической теории, чтобы решить, действительно ли такие движения происходят в природе. Мы рассмотрим этот вопрос в связи с вращением твердого тела в следующем разделе.

    Однако наша главная цель — обсуждение поляризованного света.Здесь связь между классической и квантовой теориями очень тесна, а процедура квантования особенно ясна в терминах спинорного формализма.

    Сам по себе интересен тот факт, что один и тот же формализм можно приспособить и к движению твердого тела, и к волновому явлению. Мы знаем, что корпускулярно-волновой дуализм является одной из центральных тем квантовой механики. Контраст между этими объектами очень заметен, если ограничиться точечными частицами и скалярными волнами.Удивительно, как этот контраст смягчается в контексте задач вращения.

    Рисунок 4.1: Углы Эйлера: (а) Статическая картина. (b) Кинематический дисплей.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.